（讲义）第7章 7.1 7.1.2 复数的几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.1.2　复数的几何意义 学习任务 1．掌握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(数学抽象) 2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(数学抽象) 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(逻辑推理) 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来一起探究吧！ 知识点1　复数的几何意义 1．复平面 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数． (3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 1.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ [提示]　不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 2．复数的几何意义 (1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应： 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)； (2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应： 复数z＝a＋bi平面向量． 知识点2　复数的模 1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝． 知识点3　共轭复数 1．定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi． 2.共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？ [提示]　它们所对应的点关于实轴对称． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点． (　　) (2)若＝(0，－3)，则对应的复数为－3i． (　　) (3)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于第四象限． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________． 　[∵z＝1＋2i， ∴|z|＝＝．] 3．复数z＝－3－2i的共轭复数＝________． [答案]　－3＋2i 类型1　复数与复平面内的点的关系 【例1】　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． [解]　(1)点Z在复平面的第二象限内， 则 解得a＜－3． (2)点Z在x轴上方， 则 解得a＞5或a＜－3． 即当a＞5或a＜－3时，点Z在复平面内的x轴上方． [母题探究] 1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值． [解]　点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5． 故a＝5时，点Z在x轴上． 2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值． [解]　因为点Z在直线x＋y＋7＝0上， 所以＋a2－2a－15＋7＝0， 即a3＋2a2－15a－30＝0， 所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±． 所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上． 　利用复数与点的对应解题的步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． [跟进训练] 1．(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第________象限． (2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为________． (1)四　(2)(1，2)　[(1)因为a2＋a＋1＝＋>0， －(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0， 故复数对应的点在第四象限． (2)因为复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限， 所以所以 所以1<x<2． 所以所求实数x的取值范围是(1，2)．] 类型2　复数与复平面内向量的对应 【例2】　在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点． (1)求向量和对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数． [解]　(1)由已知得所对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，则＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)， 因此＝(1，1)，＝＝(1，－4)， 故对应的复数为1＋i， 对应的复数为1－4i． (2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，－3)，(2，0)，则AC的中点为，由平行四边