（讲义）第7章 7.1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 学习任务 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(逻辑推理) 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(数学抽象) 3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．(数学运算) 小学的时候我们先学了自然数，为了衡量一个苹果分给几个小朋友的问题，引入了分数，慢慢又引入了负数，紧接着为了衡量边长为1的正方形的对角线的长度，引入了无理数，我们所了解的数系一步步被扩充到实数系…… 知识点1　复数的概念及其表示 1．复数与复数集 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．规定i·i＝i2＝－1． 1.如何理解虚数单位i? [提示]　①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 知识点2　复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d． 知识点3　复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示． 2.复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？ [提示]　不对．由复数实部和虚部的概念可知，复数m＋ni，只有m，n∈R时，m才是m＋ni的实部，此时复数m＋ni的虚部是实数n，而不是ni． a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　) (2)复数z＝bi是纯虚数． (　　) (3)实数集与复数集的交集是实数集． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＝________；y＝________． [答案]　0　5 类型1　复数的概念 【例1】　给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是(　　) A．1　　　B．2　　 　C．3　　　　D．4 C　[复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．] 　判断复数概念方面的命题真假的注意点 (1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系． (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同． (3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假． [跟进训练] 1．下列说法中正确的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i C　[选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．] 类型2　复数的分类 【例2】　当实数x取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． [解]　(1)当x满足 即x＝5时，z是实数． (2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数． (3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． 　利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解． (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． (3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0． [跟进训练] 2．(1)若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为(　　) A．0　　　　 B．1 C．－1 D．1或－1 (2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．－1 (1)D　(2)B　[若z＝a＋(a2