（讲义）第6章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

类型1　平面向量的线性运算 1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题． 2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． 【例1】　(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________． (1)A　(2)　[(1)法一：如图所示，＝＝＋＝×)＋)＝－，故选A． 法二：＝＝－＝－×)＝－，故选A． (2)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．] 类型2　平面向量数量积的运算 1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等． 2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 【例2】　(1)(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则(　　) A．|b|＝ B．(2a＋b)∥(a＋2b) C．向量2a－b与a－2b的夹角为 D．向量a在向量b上的投影向量的模为 (2)(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________． (1)AC　(2)－　[(1)将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝＝，故A正确； 因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误； 设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确； 向量a在向量b上的投影向量的模为＝＝，故D错误． (2)c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－．] 类型3　利用余弦、正弦定理解三角形 1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了知识的交汇性． 2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养． 【例3】　(2022·湖南长郡中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足4sin B cos C＝2a－c． (1)求角B； (2)若AC边上的中线长为，求△ABC的面积． [解]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为， 则a＝2sin A，c＝2sin C， 又4sin B cos C＝2a－c， 则2sin B cos C＝2sin A－sin C， 则2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin C， 又sin C＞0，即cos B＝， 又0＜B＜π，则B＝． (2)由题意可得b＝2sin B＝2×＝3， 又AC边上的中线长为， 则||＝5， 即c2＋a2＋2×ac×＝25， 即a2＋c2＋ac＝25，① 又由余弦定理可得a2＋c2－2ac×＝9， 即a2＋c2－ac＝9，② 由①②可得ac＝8， 即△ABC的面积为ac sin B＝×8×＝2． 类型4　余弦、正弦定理在实际问题中的应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．要注意隐含条件，并最后将结果还原为实际问题进行检验． 2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养． 【例4】　甲船在静水中的速度为40海里/时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60°方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东30°方向． (1)假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离； (2)若水流的速度为10海里/时，方向向正东方向，甲船保持40海里/时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值． [解]　(1)两船的位置图如下： 由图可得，∠PAB＝120°，∠APB＝30°，所以AB＝AP＝40×0.5＝20，所以由余弦定理可得PB＝＝＝20， 所以点B与点P之间的距离为20海里． (2)如图，的方向为水流的方向，的方向为船头的方向，的方向为实际行进的方向，其中