（讲义）第6章 6.４ 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理习题课-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第3课时　余弦定理、正弦定理习题课 学习 任务 1．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的几何度量问题．(数学运算) 2．能根据条件，判断三角形解的个数．(逻辑推理) 3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(数学运算) 类型1　三角形解的个数的判断 【例1】　不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°． [解]　(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． (2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1， 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°，满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°.故三角形有两解． (3)sin B＝＝sin C>sin C＝． 所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解． 　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 [跟进训练] 1．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 ABD　[A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中， ∵sin C＝＝，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解；D中，∵＝， ∴sin B＝＝，又b<a，∴角B只有一解．] 类型2　三角形的面积 【例2】　在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos ∠CAD＝且AD＝BD，求△ABC的面积． [解]　设CD＝x，则AD＝BD＝5－x， 在△CAD中，由余弦定理的推论可知： cos ∠CAD＝＝，解得x＝1． 在△CAD中，由正弦定理可知： sin C＝＝4＝， ∴S△ABC＝AC·BC·sin C ＝×4×5×＝． ∴△ABC的面积为． 　已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． [跟进训练] 2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________． (2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________． (1)2　(2)或　[(1)∵cos C＝， ∴C∈(0°，90°)， ∴sin C＝＝， 又S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝4， ∴b＝2． (2)由正弦定理得sin C＝＝＝， ∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°， ∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝或．] 类型3　正、余弦定理的综合应用 【例3】　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B． (1)求B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [解]　(1)∵bsin A＝acos B， ∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B． 在△ABC中，sin A≠0， ∴sin B＝cos B，即得tan B＝，∴B＝． (2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ， 解得a＝，∴c＝2a＝2． 　应用正、余弦定理解决三角形问题，关键是根据已知条件对边和角进行相互转化，化简表达式，通过代数变形或三角恒等变换解决问题． [跟进训练] 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B． (1)求B的大小； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值． [解]　(1)由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2， 即a2＋c2－b2＝ac． 由余弦定理的推论，得cos B＝＝． 又0°＜B＜180°，因此B＝45°． (2)sin A＝sin (30°＋45°