（讲义）第6章 6.４ 6.4.3 第2课时 正弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第2课时　正弦定理 学习任务 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(逻辑推理、数学抽象) 2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(数学运算) 如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？ 知识点　正弦定理 在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ [提示]　如图所示，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，所以在△AB′C中，＝＝c, c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[由＝，得＝，解得sin B＝.故选A．] 2．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为________． 2　[因为＝2R， 所以BC＝2R sin A＝4sin 60°＝2．] 类型1　已知两角及一边解三角形 【例1】　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． [解]　因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋)． 　已知两角及一边解三角形的思路 (1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． [跟进训练] 1．已知△ABC中，c＝4，A＝45°，B＝60°，求a，b． [解]　由题意可得C＝180°－45°－60°＝75°． 由正弦定理得a＝＝． 又sin 75°＝， 于是a＝＝4－4． 同理可得b＝＝＝6－2． 类型2　已知两边和其中一边的对角解三角形 【例2】　(源自湘教版教材)在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c． (1)a＝5，b＝5，∠A＝30°； (2)a＝5，b＝，∠A＝45°． [解]　(1)由正弦定理得＝， 即sin B＝， 所以∠B＝60°或∠B＝120°． 当∠B＝60°时，∠C＝90°， 所以c＝sin 90°·＝10． 当∠B＝120°时，∠C＝30°， 所以c＝a＝5． (2)由正弦定理得sin B＝＝， 所以∠B＝30°或∠B＝150°． 又∠A＝45°，a＞b， 所以∠B＜45°． 由此得到∠B＝30°，∠C＝105°． 因此c＝sin 105°·＝sin 75°·＝． 　已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)用三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行第一个步骤时要注意讨论该角是否可能有两个值． [跟进训练] 2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a． [解]　由正弦定理得sin C＝＝＝， ∵c>b，0°<C<180°， ∴C＝45°或135°． 当C＝45°时，A＝105°， a＝＝＝＋1， 当C＝135°时，A＝15°， a＝＝＝－1． 类型3　三角形形状的判断 【例3】　在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． [思路导引]　先有sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2； 再由sinA＝2sin B cos C求出B，C的关系 [解]　根据正弦定理， 得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C， ∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C ＝2sin B cos C， ∴sin (B－C)＝0． 又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． 　利用正弦定理判断三角形形状的方法 (1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状． (2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状． [跟进训练] 3．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角