（讲义）第6章 6.４ 6.4.3 第1课时 余弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 学习 任务 1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法．(数学抽象、逻辑推理) 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(数学运算) 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°．根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？ 知识点1　余弦定理的表示及其推论 文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号 语言 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C 推论 cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ 知识点2　解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1.勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？ [提示]　余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例． 2.余弦定理推论的作用是什么？ [提示]　余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)若b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝________； (2)若a＝1，b＝，c＝，则B＝________． (1)　(2)150°　[(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝． (2)由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝－.又0°<B<180°，∴B＝150°．] 类型1　已知两边与一角解三角形 【例1】　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm； (2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________． (1)60　(2)4或5　[(1)由余弦定理，得 a＝ ＝60(cm)． (2)由余弦定理，得()2＝52＋BC2－2×5×BC×， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．] 　已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． [跟进训练] 1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形． [解]　根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2， 又∵cos A＝＝＝， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°． 类型2　已知三边解三角形 【例2】　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C． [解]　根据余弦定理的推论，得cos A＝ ＝＝． ∵A∈(0，π)，∴A＝． cos C＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝， ∴B＝π－A－C＝π－－＝π， ∴A＝，B＝π，C＝． 　已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [跟进训练] 2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． [解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)， 由余弦定理的推论，得cos A＝ ＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝45°，cos B＝ ＝＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°， ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°． 类型3　利用余弦定理判断三角形形状 【例3】　(源自人教B版教材)在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断这个三角形的形状． [思路导引]　a cos A＝b cos B得出a，b，c间的数量关系． [解]　∵a cos A＝bcos B， ∴由余弦定理可得 a·＝b·， 整理得(c2＋b2－a2)a2 ＝(a2＋c2－b2)b2， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2， ∴a2＋b2＝c2或a＝b． 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． 　利用余