（讲义）第6章 6.４ 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学习任务 1．能将实际问题转化为解三角形问题．(数学建模) 2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(数学运算) 我国古代有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想． 问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？ 知识点　基线 (1)定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)性质 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同． (　　) (2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解． (　　) [答案]　(1)√　(2)√ 类型1　测量距离问题 【例1】　(源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长． [解]　因为A，B，C，D 4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°， 因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°， 所以在Rt△BCD中， BC＝100cos 30°＝50(m)． 在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知 ＝， 因此AC＝m． 在△ABC中，由余弦定理可知 AB2＝＋(50)2－2××50cos 45°＝，从而有AB＝ m． 　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． [跟进训练] 1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________m． 60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°， ∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D， ∴河宽BD＝120·sin 30°＝60(m)．] 类型2　测量高度问题 【例2】　如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度． [解]　在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°， ∠AMC＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得＝， 即＝，解得AC＝600(m)． 在△ACD中，因为tan ∠DAC＝＝， 所以CD＝600×＝600(m)． 即电视塔CD的高度为600 m． 　测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． [跟进训练] 2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m． 150　[由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100(m)，所以MN＝AM sin 60°＝100×＝150(m)．] 类型3　角度问题 【例3】　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值) [解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇， 则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9， ∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得， (28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×， 即128t2－60t－27＝0， 解得t＝或t＝－(舍去)， ∴AC＝21海里，BC＝15海里．根据正弦定理， 得sin ∠BAC＝＝， 则cos ∠BAC＝＝． 又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，