（讲义）第6章 6.3 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学习任务 1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．(数学运算) 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(逻辑推理) 3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(逻辑推理) 当a∥b时，a，b存在怎样的等量关系，其坐标之间又存在怎样的等量关系？让我们一起来学习吧！ 知识点　平面向量数乘运算的坐标表示 1．数乘运算的坐标表示 (1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？ [提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用． 1．已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________． (－1，3)　[根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3)．] 2．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________． －4　[∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．] 类型1　向量数乘的坐标运算 【例1】　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b． [解]　(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1，2)－(2，1) ＝－＝． 　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行． [跟进训练] 1．(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则＋＝(　　) A．(2，－3)　 B．(－2，－3) C．(－2，3) D．(2，3) (2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，则a＋2b－3c的坐标是________． (1)A　(2)(－11，－1)　[(1)因为A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以＝(1，－6)，＝(3，9)，所以＋＝(2，－3)． (2)因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1)．] 类型2　向量共线的坐标表示及应用 　向量共线的判定与证明 【例2】　(1)下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2) C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4) (2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ (1)D　[A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D．] (2)[解]　∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， ＝(2－1，7－5)＝(1，2)． 又2×2－4×1＝0， ∴∥． 又＝(2，6)，＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A，B，C不共线， ∴AB与CD不重合， ∴AB∥CD． 　三点共线的实质与证明步骤 (1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的． (2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点． 　已知平面向量共线求参数 【例3】　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解]　法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以 解得k＝λ＝－． 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因为λ＝－<0， 所以平行时ka＋b与a－3b反向． 法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)， a－