（讲义）第6章 6.3 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 学习任务 1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(数学抽象) 2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．(数学运算) 如图，在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2．在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和． 知识点1　平面向量坐标的相关概念 知识点2　平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA) 向量坐标与点的坐标的区别是什么？ [提示]　意义不同．点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向． 1．设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为________． [答案]　(2，5)，(4，3) 2．已知点A(1，－2)，点B(4，0)，则向量＝________． [答案]　(3，2) 类型1　平面向量的坐标表示 【例1】　已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°， (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． [解]　(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4·cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)． (2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． 　求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． [跟进训练] 1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标． [解]　由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)． 类型2　平面向量的坐标运算 【例2】　(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A．(－7，－4)　　 B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标． (1)A　[法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A． 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， ＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A．] (2)[解]　a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)． 　平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算． (3)向量的坐标(线性)运算可类比数的运算进行． [跟进训练] 2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求的坐标． [解]　法一：∵＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)， ∴＝(－2，10)＋(－8，4)＝(－10，14)， ＝(－8，4)－(－10，14)＝(2，－10)． 法二：∵＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)， ∴＝＝(－10，14)，＝＝－＝(2，－10)． 类型3　平面向量坐标运算的应用 【例3】　已知点O(0，0)，A(1，2)． (1)若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由． [解]　(1)＝＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)， 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－． 若点P在y轴上，则1＋