（讲义）第6章 6.3 6.3.1 平面向量基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 学习 任务 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．(数学抽象) 2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．(逻辑推理、数学运算) 通过物理课中《力的合成与分解》的学习，我们知道，一个力可以分解成无数对大小、方向不同的分力． 知识点　平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 2.基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)基底中的向量可以是零向量． (　　) (2)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． (　　) (3)若＝a，＝b，AD是△ABC的中线，则＝(a＋b)． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 类型1　平面向量基本定理的理解 【例1】　(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝ D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 BC　[由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的． 对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．] 　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示． [跟进训练] 1．(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2　　 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 ACD　[选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．] 类型2　用基底表示向量 【例2】　(源自湘教版教材)如图，△ABC中，AB边的中点为P，重心为G.在△ABC外任取一点O，作向量． (1)试用表示； (2)试用表示． [解]　(1)＝＝＋ ＝＋) ＝＋－ ＝＋． (2)＝＝＋ ＝＋) ＝＋－ ＝＋ ＝＋ ＝＋＋． 　基底表示其他向量的方法 方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止． 方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． [跟进训练] 2．已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到点C，使BA＝AC，连接OC，DC.设＝a，＝b． (1)用a，b表示； (2)若与＋k共线，求k的值． [解]　(1)由题意知A为BC的中点， ∴＝)， ∴＝2＝2a－b， ＝＝－＝2a－b． (2)由(1)得＋k＝(2k＋1)a－kb， ∵＋k共线，设＝λ(＋k)， 则2a－b＝λ(2k＋1)a－λkb， ∴ 解得k＝． 类型3　平面向量基本定理的应用 【例3】　(2022·江苏马坝高中月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点． (1)设＝a，＝b，用a，b表示； (2)已知ED⊥EF，求证：AB＝AD． [解]　(1)因为AE＝2BE，所以＝＝， 所以＝＝b－a， ＝＝＋＝a＋b． (2)证明：因为ED⊥EF，所以＝0， 即＝b2－a2＝0， 即|a|＝|b|，所以AB＝AD． 　利用向量解决几何问题的一般思路 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底． (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． (4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解． [跟进训练] 3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD． [证明]　设＝a，＝b． 因为四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|， 又＝＝a＋b，＝＝b－a， 则＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0， 故.所以AC⊥BD． 1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　) A．{}　 B．{} C．{} D．{} D　[由于不共线，所以是一组基底．故选D．] 2．已知向量e1