（讲义）第6章 6.2 6.2.4 第1课时 向量数量积的概念及性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量数量积的概念及性质 学习任务 1．了解向量的数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．(数学抽象) 2．掌握向量的数量积的定义及投影向量．(数学抽象) 3．会计算平面向量的数量积．(数学运算) 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ． 问题：该大力士所做的功是多少？ 知识点1　向量的数量积 1．两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，向量a，b同向； 当θ＝π时，向量a，b反向； 当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b． 1.如何作出向量a与b的夹角？ [提示]　 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 2.把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？ [提示]　不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式． 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 3.如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？ [提示]　＝|a|cos θe． 知识点2　向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|． 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b|≤|a||b|． 4．若a·b＝0，则a⊥b一定成立吗？ [提示]　不一定，也可能a＝0或b＝0． 5．a·b的符号与两向量的夹角有何关系？ [提示]　a·b<0，由a·b＝|a||b|cos θ可知，两向量的夹角是钝角或180°.而a·b>0时，由a·b＝|a||b|cos θ可知，两向量的夹角是锐角或0°． 1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　　) A．－3　　B．－6　　C．6　　D．2 B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6．] 2. 若向量a，b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角为________． [答案]　120° 3．已知|a|＝5，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影向量为________． a　[向量b在a方向上的投影向量为(|b|cos θ)＝2×cos 60°×a＝a．] 类型1　定义法求向量的夹角 【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [解]　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°． 以为邻边作▱OACB， 则＝a＋b，＝a－b． 因为|a|＝|b|＝2， 所以▱OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以的夹角为30°，的夹角为60°， 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°． 　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． [跟进训练] 1．如图，已知△ABC是等边三角形． (1)求向量与的夹角； (2)若E为BC的中点，求向量与的夹角． [解]　(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，所以∠DBC为向量的夹角． 因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°， 所以向量的夹角为120°． (2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC， 所以向量的夹角为90°． 类型2　平面向量的数量积运算 【例2】　如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求： (1)·；(2)·． [解]　 (1)因为，且方向相同， 所以的夹角是0°， 所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9． (2)因为的夹角为60°， 所以的夹角为120°， 所以·＝||||·cos 120°＝4×3×＝－6． 　定义法求平面向量的数量积 (1)求模：分别求|a|和|b|． (2)求夹角：注意向量a与b的方向． (3)求数量积：a·b＝|a||b|cos θ． [跟进训练] 2．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积： (1)a∥b； (2)a⊥b； (3)a与b的夹角为60°． [解]　(1)