（讲义）第6章 6.2 6.2.3 向量的数乘运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.2.3　向量的数乘运算 学习任务 1．了解向量数乘的概念. (数学抽象) 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算. (数学运算) 3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法．(逻辑推理) 一只蚂蚁做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 问题：类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”，你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？ 知识点1　向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|． ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同． 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 当λ＝0时，λa＝0． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a． ②(λ＋μ)a＝λa＋μa． ③λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb． (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 1.实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？ [提示]　不能进行加减，像a＋λ，a－λ(λ为实数)都是没有意义的． 2.若λa＝0，则一定有a＝0吗？ [提示]　不一定，还有可能λ＝0． 知识点2　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝λb⇒a与b共线． (　　) (2)若a与b共线，一定有a＝λb． (　　) (3)若a，b不共线，则a，b中任何一个均不为0． (　　) [答案]　(1) √　(2) ×　(3)√ 2．化简：2(3a＋4b)－8a＝________． －2a＋8b　[原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b．] 类型1　向量的线性运算 【例1】　化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a． [解]　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a． (2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0． (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c． 　向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数应看作是向量的系数． [跟进训练] 1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y． [解]　由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b， 代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a， 所以y＝4a＋3b． 所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b． 类型2　用已知向量表示相关向量 【例2】　如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝(　　) A．－　　　 B．－＋ C．－－ D．＋ B　[法一：∵D是AB的中点，∴＝，∴＝＝－＋． 法二：＝)＝＋()]＝＋＝－＋．] 　用已知向量表示其他向量的方法 (1)直接法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． (3)中点向量公式：若M为AB的中点，O为平面内任一点，则＝． [跟进训练] 2．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b　　　B．a＋b　　　C．a＋b　　　D．a－b D　[因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＝＝a－b．] 类型3　向量共线定理 【例3】　设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． [思路导引]　(1)＝λ． (2)8a＋kb与ka＋2b共线→8a＋kb＝λ(ka＋2b)． [解]　(1)证明：∵＝＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝＝(a－3b)－(3a＋b) ＝－(2a＋4b)＝－2， ∴共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线． (2)∵8a＋kb与k