（讲义）第6章 6.2 6.2.1 向量的加法运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 学习任务 1．能从实例中抽象出向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义．(数学抽象) 2．掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则．(直观想象) 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．(数学抽象、逻辑推理) 天车是大型生产车间或工地进行起重作业的重要设备．如图，物体在天车的作用下，同时进行竖直方向的位移和水平方向的位移，实际位移可以看作竖直方向的位移与水平方向的位移的合成． 知识点1　向量的加法 1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a． 2．向量求和的法则 三角 形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋ 平行四边 形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b 3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立． 非零向量a，b处于什么位置时， (1)|a＋b|＝|a|＋|b|? (2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)? [提示]　(1)当a，b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|； (2)当a，b共线且反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 知识点2　向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量． (　　) (2)>． (　　) (3)||＋||＝||． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．如图，在▱ABCD中，＝________． 　[由平行四边形法则可知＝．] 3．化简：＝________． 　[＝＝．] 类型1　向量的加法法则 【例1】　如图，已知向量a，b． (1)用三角形法则作出向量a＋b； (2)用平行四边形法则作出向量a＋b． [解]　(1)如图①，在平面内任取一点O′，作＝a，＝b，连接O′E，则＝a＋b． (2)如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＝a＋b． 　三角形法则与平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量 位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 注意：(1)使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”． (2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． [跟进训练] 1．(1)如图甲所示，求作向量和a＋b； (2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c． [解]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一(三角形法则)：如图所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＝a＋b． 再以OD，OC为邻边作▱ODEC， 连接OE，则＝＝a＋b＋c即为所求． 类型2　向量加法的运算 【例2】　(源自人教B版教材)化简下列各式： (1)； (2)． [解]　(1)＝()＋＝＝． (2)＝＋()＝＝()＋＝＝0． 　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，能实现恰当利用向量加法法则运算的目的． (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． [跟进训练] 2．已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量： ①；②；③． [解]　如图所示，①易知四边形OAFE为平行四边形，连接OF，则＝． ②连接OC，则四边形OABC为平行四边形，连接AC，则＝． ③连接DB，则四边形AEDB为平行四边形，连接OD，则＝． 类型3　向量加法的实际应用 【例3】　(源自苏教版教材)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ [思路导引]　位移问题向量问题结合图形求解． [解]　如图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示