（讲义）第6章 6.1 平面向量的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.1　平面向量的概念 学习任务 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景．(数学抽象) 2．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．(直观想象、数学抽象) 高尔夫球是一项非常有趣的运动，擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要．”方向走对了，哪怕走得慢也能一步一步靠近成功；倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远． 知识点1　向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 1．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？ [提示]　海拔不是向量，它只有大小没有方向．海拔的正负，只是相对规定的标准来说的，不是指方向，不是向量． 知识点2　向量的几何表示 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度． (2) 2．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？ [提示]　有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念． 知识点3　向量的有关概念 零向量 长度为0的向量，记做0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量． 向量a与b平行，记作a∥b． 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量． 向量a与b相等，记作a＝b 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的大小为0，没有方向． (　　) (2)若a，b都是单位向量，则a＝b． (　　) (3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．如图，B是线段AC的中点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量． 6　[由向量的几何表示，知可以写出6个向量，它们分别是．] 类型1　向量的有关概念 【例1】　判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反． [解]　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b． (4)不正确．依据规定：0与任意向量平行． (5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定． 　辨析向量概念的方法 (1)理解向量概念的关键是突出向量的两个要素——大小和方向，只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题． (2)共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量． [跟进训练] 1．给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． ③　[①错误．若b＝0，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量必须在同一直线上．] 类型2　向量的表示及应用 【例2】　(源自北师大版教材)小明从学校的教学楼出发，向北走了1 500 m到达图书馆，2 h后又从图书馆向南偏东60°走了1 000 m到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了2 000 m来到操场运动．请选择适当的比例尺画图，用向量表示小明每次的位移． [解]　设比例尺为1∶50 000，如图． 小明的位移表示如下： 向量表示从教学楼到图书馆的距离与方向； 向量表示从图书馆到食堂的距离与方向； 向量表示从食堂到操场的距离与方向． 　用有向线段表示向量的方法 第一步：确定起点； 第二步：确定方向； 第三步：依据向量模的大小确定有向线段的终点． [跟进训练] 2．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)||＝3，点A在点O北偏西45°方向； (2)||＝2，点B在点O正南方向． [解]　(1)∵||＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点． (2)∵||＝2＝