（练习）课时分层作业24 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层作业(二十四)　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 一、选择题 1．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则长方体的体积与表面积分别为(　　) A．6，22　　　 B．3，22 C．6，11 D．3，11 2．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为(　　) A．26　　　B．28　　　C．30　　　D．32 3．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4．如图，已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，则正四面体D­A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5．(多选)(2022·哈尔滨九中月考)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　) A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 二、填空题 6．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则六棱锥的侧面积为________． 7．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为________． 8．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________． 三、解答题 9．如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，截去三棱锥A1­ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1­DBC的表面积和体积． 10．已知长方体两两相邻的三个面的面积分别为x，y，z，则长方体的体积为(　　) A．xyz B． C． D． 11．如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱 D′C′上，则三棱锥A′­EFQ的体积(　　) A．与点E，F的位置有关 B．与点Q的位置有关 C．与点E，F，Q的位置都有关 D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值 12．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是(　　) A．侧面积之比为1∶4 B．侧面积之比为1∶8 C．体积之比为1∶27 D．体积之比为1∶26 13．我国有一种容器叫做方斗，方斗的形状是一个上大下小的正四棱台，如果一个方斗的高为3分米(即该方斗上、下底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积为________平方分米．(容器厚度忽略不计) 14．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积． 15．有两个相同的直三棱柱，高为(a＞0)，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(二十四) 1．A　[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22．] 2．B　[所求棱台的体积V＝×(4＋16＋×3＝28．] 3．C　[∵V三棱锥C-A′B′C′＝V三棱柱ABC-A′B′C′＝， ∴V四棱锥C-AA′B′B＝1－＝．] 4．B　[设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D-A1BC1的棱长为，表面积为4×××sin 60°＝2，∴正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是.故选B．] 5．ABD　[设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×3×＝， 故PE＝＝3，故AB正确；而正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．故选ABD．] 6．12　[设六棱锥的高为h，斜高为h0， S底＝×2×2×sin 60°×6＝6. ∴×6×h＝2，∴h＝1，h0＝2， ∴S侧＝×2×2×6＝12．] 7．　[设正四棱台的高、斜高分别为h，h′. 由题意得，4××(1＋2)×h′＝12＋22，解得h′＝. 根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形， 可得h2＋＝，解得h＝．] 8．　　[S表＝4××12＝， V体＝××12× ＝．] 9．解：由题图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2， 故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝＋3S△DBC＋3＝a2＋3××a2＋3a2＝a2. 几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝－＝a3－××a×a×a＝a3. 10．B　[设长方体长、宽、高分别为a，b，c， 则 ∴(abc)2＝x