（练习）课时分层作业19 复数的乘、除运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层作业(十九)　复数的乘、除运算 一、选择题 1．(2022·浙江高考)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3　　　　 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 2．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 3．复数z满足z2＋1＝0，则z3＝(　　) A．1　　　B．±1 C．i　　　D．±i 4．设a是实数，且＋是实数，则a等于(　　) A．　　　B．1 C．　　　D．2 5．(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2 C． D． 二、填空题 6．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________． 7．若复数z满足方程i＝1－i，则z＝________． 8．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b＝________． 三、解答题 9．已知复数z＝. (1)求复数z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． 10．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　) A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0 C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0 11．(多选)已知不相等的复数z1，z2，则下列说法正确的是(　　) A．若<0，则z1是纯虚数 B．若|z1|＝|z2|，则＝ C．若z1＝，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称 D．若>0，则 12．复数z同时满足①|z－2i|＝|z－2|；②|z|2＝2，则z＝________． 13．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________． 14．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i，i为虚数单位． (1)求； (2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，求|z|. 15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设u＝，证明：u为纯虚数． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十九) 1．B　[a＋3i＝bi－1，∴a＝－1，b＝3，故选B．] 2．D　[(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i，故选D．] 3．D　[因为z2＋1＝0，所以z2＝－1，则z＝±i． 当z＝i时，z3＝i3＝－i． 当z＝－i时，z3＝(－i)3＝i.所以z3＝±i．] 4．B　[∵＋＝＋＝＋i， 又∵∈R，∴＝0，解得a＝1．] 5．BC　[计算得AD为实数，BC为纯虚数．] 6．　[因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0， 所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝ 7．－1＋i　[由题意可得所以z＝－1＋i．] 8．　[因为z＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，所以b＝．] 9．解：(1)z＝＝＝＝1＋i． (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 10．D　[因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0．] 11．AC　[对于A，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a2－b2＋2abi<0，则ab＝0且a2－b2<0，所以a＝0，b≠0，所以z1是纯虚数，故A正确； 对于B，若z1＝1，z2＝i，此时|z1|＝|z2|＝1，但＝＝－1，故B错误； 对于C，若z2＝a＋bi(a，b∈R)，在复平面对应的点为(a，b)，则z1＝在复平面对应的点为(a，－b)，所以z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确； 对于D，若z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则＝＝－3＋4i，此时>0，但的大小无法比较，故D错误．故选AC．] 12．±(1＋i)　[设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到＝，两边平方化简可得a＝b，故|z|2＝2⇒a2＋b2＝2⇒a＝b＝±1，z＝±(1＋i)．] 13．2＋3i　13　[设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13．] 14．解：(1)＝＝＝＝－1＋5i． (2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i． 因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，所以b＝1， 所以z＝1＋i，所以|z|＝． 15．解：(1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0． 所以ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i． 因为ω是实数且y≠0， 所以