（练习）课时分层作业14 余弦定理、正弦定理习题课-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层作业(十四)　余弦定理、正弦定理习题课 一、选择题 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝，B＝60°，则△ABC的面积为(　　) A．　 　B．　 　C．1　 　D． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C等于(　　) A． B． C． D． 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 4．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是(　　) A．a＝3，b＝4，A＝ B．a＝3，b＝4，cos B＝ C．a＝3，b＝4，C＝ D．a＝3，b＝4，B＝ 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是(　　) A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．asin B＝bsin A C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos C＝c 二、填空题 6．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________． 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝________． 8．在△ABC中，B＝60°，c＝2，若满足条件的三角形有两个，则b的取值范围为________． 三、解答题 9．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　) A． B．5 C．6 D．7 11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D．2 12．在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 13．(2023·全国甲卷) 在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝________． 14．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin ∠BAC＝，求sin ∠BCA； (2)若AD＝3AC，求AC. 15．在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C． (1)试确定△ABC的形状； (2)求的取值范围． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十四) 1．B　[∵a＝1，b＝，B＝60°， ∴由正弦定理可得sin A＝＝＝， ∵a＜b，∴A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°， ∴S△ABC＝ab＝×1×＝.故选B．] 2．C　[由＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b， 即b＝a，又b＋c＝2a，∴c＝a， ∴由余弦定理的推论，得 cos C＝＝－， ∴C＝，故选C．] 3．A　[∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2． 由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝＝－，∴＝6．] 4．BCD　[根据题意，在A的条件下，由正弦定理＝⇒sin B＝×sin A＝，因为<<，所以角B在上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于π，所以A不满足； 在B的条件下，根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，即16＝9＋c2－c，解得c＝5或c＝－(舍)，所以只有1个解，满足题意； 在C的条件下，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解； 在D的条件下，由正弦定理＝⇒sin A＝×sin B＝，因为<，所以角A在上各有一个解，当解在上时，角B与角A的和大于π，所以只有1个解，满足题意．] 5．ABC　[对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确； 对于B，根据正弦定理边角互化， 可得a sin B＝bsin A⇔ab＝ab，故B正确； 对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B⇒sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin (B＋C)＝sin A，故C正确； 对于D, 根据正弦定理的边角互化可得， sin Acos B＋sin Bcos C