（练习）课时分层作业5 向量数量积的概念及性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层作业(五)　向量数量积的概念及性质 一、选择题 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A．3　　B．－3　　C．－3　　D．3 2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝(　　) A．12 B．3 C．6 D．3 3．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　) A．4e B．－4e C．2e D．－2e 4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 5．(多选)下列命题正确的是(　　) A．0·a＝0 B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0 C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 二、填空题 6．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则＝________． 7．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________． 8．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________． 三、解答题 9．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量． 10．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　) A．100 J 　B．50 J　 C．50 J　 D．200 J 11．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则的值为(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，＝8，则△ABC的形状是________，＝________． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求： (1)在上的投影向量； (2)在上的投影向量． 15．已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点． (1)求的值； (2)求的最大值． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五) 1．B　[由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3．] 2．C　[因为a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，又|a|＝4， 则4××|b|＝－12，解得|b|＝6．] 3．D　[向量b在向量a方向上的投影向量为|b|·cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e.故选D．] 4．C　[如图， 作向量＝，则∠BAD是的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即的夹角是120°．] 5．AD　[A正确，因为0的长度为0，结合数量积的定义可知0·a＝0.B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0.D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝＝1，故a2＝b2．] 6．－　[因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝.所以＝1××cos 150°＝－．] 7．e　[因为a与b的夹角为60°，a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×e＝e．] 8．　[设a与b的夹角为θ， 由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝＝， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝．] 9．解：(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4×cos 120°＝－10． (2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝5×cos 120°e＝－e． 10．B　[由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)，故选B．] 11．D　[由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25．] 12．A　[cos θ＝＝×b|＝2×5×＝8.故选A．] 13．等边三角形　－8　[＝||||cos ∠BAC， 即8＝4×4cos ∠BAC， 于是cos ∠BAC＝，因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC＝60°． 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 此时＝||||cos 120°＝－8．] 14. 解：如图，连接