（课件） 第6章 探究课1 用向量法研究三角形的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用 探究课1　用向量法研究三角形的性质 1 知识提炼 01 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 2 三角形“四心”的向量表示 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)三角形的重心：＝0⇔O是△ABC的重心． (2)三角形的垂心：＝＝⇔O是△ABC的垂心． (3)三角形的内心：a＋b＋c＝0⇔O是△ABC的内心． (4)三角形的外心：||＝||＝||⇔O是△ABC的外心． 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 典例探究 02 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 4 【典例】　(1)若三个不共线的向量满足＝＝＝0，则点O为△ABC的(　　) A．内心　　　B．外心　　　C．重心　　　D．垂心 A　由题意知与＋＝(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心． √ 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 (2)已知△ABC所在平面内的一点P满足＋2＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝(　　) A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2 B　延长PB至D，使得＝2 (图略)，于是有＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1． √ 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 (3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且＝p＋q，则p＝_____，q＝_____． 　　如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC． 由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝． ＝||||cos ∠BAC＝． ∵＝p＋q， 　 　 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 ∴ ∵＝||·||·cos ∠BAO＝||·||＝2， ＝||·||·cos ∠CAO＝||·||＝， ∴解得p＝，q＝． 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 对点训练 03 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 9 1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则等于(　　) A．　　　B．6　　　C．12　　　D．18 D　[如图，过点O作OD⊥AB于点D， 可知AD＝AB＝3， 则＝()·＝ ＝3×6＋0＝18．] √ 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 2．用向量方法证明： (1)三角形的三条高线交于一点． 如图①所示，△ABC中，设BC，CA边上的高AD，BE交于点H，求证：边AB上的高过点H； 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 [证明]　在△ABC中， ∵AH⊥BC，BH⊥AC，∴＝0，＝0， ∴·()＝0，·()＝0． ∴＝0， ∴＝0，∴CH⊥AB， 故三角形三条高交于一点． 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 (2)三角形的三边的垂直平分线交于一点． 如图②所示，△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别为D，E，F，BC和CA边上的垂直平分线交于点O，求证：AB边上的垂直平分线过点O． 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 [证明]　设＝c，＝a，＝b，则a＋b＋c＝0， 因为BC和CA边上的垂直平分线交于点O， 所以，所以＝0，＝0， 因为＝＝， 所以()·＝0，()·＝0， 所以b2＋c·b＋·b＝0，－a2－c·a＋·a＝0， 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 两式相加得，(b2－a2)＋c·(b－a)＋·(b＋a)＝0， 因为c＝－(b＋a)， 所以(b2－a2)－(b＋a)·(b－a)＋·(b＋a)＝0， 所以(b2－a2)－(b2－a2)－·c＝0， 所以·c＝0，所以⊥c，所以FO⊥AB，即AB边上的垂直平分线过点O． 探究课1　用向量法研究三角形的性质 知识提炼 典例探究 对点训练 谢谢观看 THANK YOU! 16 $$