第02讲 平行线及其判定-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（人教版）

第02讲 平行线及其判定 知识点1：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点2：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，b∥c，那么a∥c． 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性． 知识点3：平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成： 同位角相等，两直线平行． 几何语言： ∵∠1＝∠2， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． ∵∠2＝∠3， ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行． ∵∠4＋∠2＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 考点剖析 考点一：平行线的定义 【典例1】在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行 D．两条不相交的直线是平行线 【变式1-2】如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 ． 【变式1-3】如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有 条．    考点二：平行线公理及推论 【典例2】是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】如果，那么 ． 考点三：平行线判定-同位角相等，两直线平行 【典例3】如图，点A在射线上，点C在射线上，，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），， ∴______， ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 【变式3-1】下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（    ） （1）               （2）过点作直线    （3）作，则 A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【变式3-2】已知：如图，直线与被所截，．求证：．    【变式3-3】如图所示，直线，相交于点C，过点C作射线，使得平分，若，试说明．    考点四：平行线判定-内错角相等，两直线平行 【典例4】如图，已知于点于点．试说明：．    解：（已知）， （__________）． 同理，． （__________）， 即． （已知） _______（___________）． ∴__________（____________）． 【变式4-1】如图所示，已知，平分，试说明．    【变式4-2】如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．    请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是___________． ，分别是，的平分线（已知）， ___________， ___________（     ）． （已知）