第01讲 相交线-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（人教版）

第01讲 相交线 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点.如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O. 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角． 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角． 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公用； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角． 3. 对顶角的性质：对顶角相等． 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角．如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°． 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂足为点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m的垂线段PB的长度叫做点P 到直线m的距离． 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点3：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示． （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角．图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8． （2）内错角：可以发现∠3与∠5处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角．图中的内错角还有∠4与∠6． （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角．图中的同旁内角还有∠3与∠6． 图5 考点剖析 考点一：邻补角 【典例1】如图所示，直线，交于点O，射线平分，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，与是邻补角的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式1-2】如图，直线，相交于点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知是直线上的点，平分，，则的度数为 ． 考点二：对顶角及其性质 【典例2】如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，的对顶角是 （    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，两条直线相交于点O，若，则 度． 【变式2-3】【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角的度数，王明设计了如下方案：作，的延长线，，量出的度数，就得到了的度数，王明这样做的依据是 ．      考点三：垂线的定义 【典例3】如图，直线相交于点O，平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在同一平面内，，，