（练习）课时分层作业18 函数的最值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十八)　函数的最值 一、选择题 1．函数f (x)＝x3－3x，x∈(－1，1)(　　) A．有最大值但无最小值 B．有最大值也有最小值 C．无最大值也无最小值 D．无最大值但有最小值 C　[因为x∈(－1，1)，f ′(x)＝3x2－3＜0，所以y＝f (x)在区间(－1，1)上单调递减，所以y＝f (x)在区间(－1，1)上无最大值也无最小值．] 2．函数f (x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为(　　) A．　 B． C．[1，e] D．(1，e) A　[f ′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x， 当0≤x≤时，f ′(x)≥0，∴f (x)在上是增函数． ∴f (x)的最大值为f ＝e，f (x)的最小值为f (0)＝．] 3．若函数f (x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－，1) B．[－，1) C．[－2，1) D．(－2，1) C　[f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＞0⇒x＞1或x＜－1，所以f (x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)单调递增，在(－1，1)单调递减，∴x＝1为函数的极小值点．因为函数f (x)在(a，6－a2)上有最小值，则函数f (x)的极小值点必在区间(a，6－a2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，∴⇒ ∴a∈[－2，1)．] 4．已知函数f (x)＝－1＋ln x，若存在x0>0，使得f (x0)≤0，则实数a的取值范围是(　　) A．a>2　　 B．a<3 C．a≤1　　 D．a≥3 C　[函数f (x)的定义域是(0，＋∞)，不等式－1＋ln x≤0有解，即a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解． 令h(x)＝x－xln x，则h′(x)＝－ln x． 由h′(x)＝0，得x＝1． 当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0． 故当x＝1时，函数h(x)＝x－xln x取得最大值1， 所以要使不等式a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解， 只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即a≤1．] 5．已知a∈R，设函数f (x)＝ 若关于x的不等式f (x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　) A．[0，1]　　 B．[0，2] C．[0，e]　　 D．[1，e] C　[当x≤1时，由f (x)＝x2－2ax＋2a≥0恒成立， 且f (x)关于x＝a对称． 所以当a≥1时，f (x)min＝f (1)＝1>0恒成立， 当a<1时，f (x)min＝f (a)＝2a－a2≥0，∴0≤a<1． 综上，a≥0． 当x>1时，由f (x)＝x－aln x≥0恒成立，即a≤恒成立． 设g(x)＝，则g′(x)＝． 令g′(x)＝0，得x＝e， 且当1<x<e时，g′(x)<0，当x>e时，g′(x)>0， ∴g(x)min＝g(e)＝e，∴a≤e． 综上，a的取值范围是0≤a≤e．] 二、填空题 6．若函数f (x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________． 20　[∵f ′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f ′(x)＞0； 当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0． ∴f (x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增． ∴f (x)min＝f (1)＝1－3－a＝－2－a＝n．又∵f (0)＝－a，f (3)＝18－a， ∴f (0)＜f (3)． ∴f (x)max＝f (3)＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20．] 7．直线y＝b分别与直线y＝2x＋1和曲线y＝ln x相交于点A，B，则|AB|的最小值为________． 1＋　[设两个交点分别为A，B(eb，b)， 则|AB|＝eb－． 令g(x)＝ex－，则g′(x)＝ex－． 由g′(x)＝0，得x＝－ln 2． 所以g(x)在区间(－∞，－ln 2)单调递减，在区间(－ln 2，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(－ln 2)＝1＋．] 8．若对任意a，b满足0<a<b<t，都有bln a<aln b，则t的最大值为______． e　[∵0<a<b<t，bln a<aln b，∴<， 令y＝，x∈(0，t)，则函数在(0，t)上单调递增， 由y′＝>0，解得0<x<e， 故t的最大值是e．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值． (1)求函数f (x)的解析式； (2)求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f (x2)－f (x1)|≤4． [解]　(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx－3， 依