（练习）课时分层作业17 函数的极值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十七)　函数的极值 一 、选择题 1．函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是(　　) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 D　[∵y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．] 2．函数f (x)＝x2－ln x的极值点为(　　) A．0，1，－1　　 B． C．－ D．，－ B　[由已知，得f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝3x－＝，令f ′(x)＝0，得x＝．当x>时，f ′(x)>0；当0<x<时，f ′(x)<0．所以当x＝时，f (x)取得极小值．从而f (x)的极小值点为x＝，无极大值点，选B．] 3．函数f (x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极值，则(　　) A．0<b<1 　 B．b<0 C．b>0 　 D．b< A　[f ′(x)＝3x2－3b．因f (x)在(0，1)内有极值，所以f ′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0<<1，∴0<b<1．] 4．设三次函数f (x)的导函数为f ′(x)，函数y＝xf ′(x)的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)的极大值为f ()，极小值为f (－) B．f (x)的极大值为f (－)，极小值为f () C．f (x)的极大值为f (－3)，极小值为f (3) D．f (x)的极大值为f (3)，极小值为f (－3) D　[由题图可知， 当x∈(－∞，－3)时，xf ′(x)>0，即f ′(x)<0； 当x∈(－3，0)时，xf ′(x)<0，即f ′(x)>0； 当x∈(0，3)时，xf ′(x)>0，即f ′(x)>0； 当x∈(3，＋∞)时，xf ′(x)<0，即f ′(x)<0． 故函数f (x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．] 5．已知f (x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的极大值是(　　) A．－2a＋c B．－4a＋c C．－3a D．c B　[由导函数f ′(x)的图象知当0<x<2时，f ′(x)>0；当x>2时，f ′(x)<0；当x＝2时，f ′(x)＝0．又f ′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f (x)＝ax3－3ax2＋c，所以函数f (x)的极大值为f (2)＝－4a＋c，故选B．] 二、填空题 6．若函数f (x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________． 3　[f ′(x)＝＝，由题意得f ′(1)＝＝0，解得a＝3．经检验，a＝3符合题意．] 7．已知函数f (x)＝x3－x2＋ax－a存在极值点x0，且f (x1)＝f (x0)，其中x1≠x0，则x1＋2x0＝________． 1　[由f (x)＝x3－x2＋ax－a，得f ′(x)＝3x2－2x＋a． ∵x0为f (x)的极值点，知3x－2x0＋a＝0．① 因为f (x1)＝f (x0)，其中x1≠x0， 所以x－x＋ax1－a＝x－x＋ax0－a， 整理得x＋x1x0＋x－(x1＋x0)＋a＝0， 把a＝－3x＋2x0代入上述方程可得x＋x1x0＋x－(x1＋x0)－3x＋2x0＝0， 整理得x＋x1x0－2x＋x0－x1＝0，即(x1－x0)(x1＋2x0－1)＝0， ∵x1－x0≠0，∴x1＋2x0＝1．] 8．函数f (x)＝x3－3x＋2的零点个数为________． 2　[f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，可知f (x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，故f (x)的极大值为f (－1)＝4，极小值为f (1)＝0，其大致图象如图所示，零点个数为2．] 三、解答题 9．求下列函数的极值． (1)f (x)＝x3－x2－3x＋4； (2)f (x)＝x3ex． [解]　(1)∵f (x)＝x3－x2－3x＋4，∴f ′(x)＝x2－2x－3． 令f ′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1． 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴x＝－1是f (x)的极大值点，x＝3是f (x)的极小值点． ∴f (x)极大值＝f (－1)＝，f (x)极小值＝f (3)＝－5． (2)f ′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)， 由f ′(x)＝0得x＝0或x＝－3． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化如表所示： x (－∞，－3) －3 (－3，0) 0 (0，＋∞) f ′(x) －