（练习）课时分层作业15 简单复合函数的求导法则-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十五)　简单复合函数的求导法则 一、选择题 1．下列函数不是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1　 B．y＝cos C．y＝ 　 D．y＝(2x＋3)4 A　[A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A．] 2．函数y＝(2 020－8x)8的导数为(　　) A．y′＝8(2 020－8x)7 B．y′＝－64x C．y′＝64(8x－2 020)7 D．y′＝64(2 020－8x)7 C　[y′＝8(2 020－8x)7·(2 020－8x)′ ＝－64(2 020－8x)7＝64(8x－2 020)7．] 3．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x．] 4．下列各式中正确的是(　　) A．(e2x)′＝e2x B．(ln 2|x|)′＝ C．(sin 2x)′＝cos 2x D．(cos 2x)′＝－sin 2x [答案]　B 5．(多选题)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x ACD　[对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．故选ACD．] 二、填空题 6．函数f(x)＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于________． 2　[函数的导数为f ′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1， 当x＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率k＝f ′(1)＝2．] 7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________． 2　[设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln(x0＋a)， 所以x0＋1＝ln(x0＋a)．① 对y＝ln(x＋a)求导得y′＝，则＝1，即x0＋a＝1．② ②代入①可得x0＝－1，所以a＝2．] 8．设曲线f(x)＝ax－ln(x＋1)在点(1，f(1))处的切线与y＝x平行，则a＝________． 1　[f ′(x)＝a－， 由题意得f ′(1)＝，即a－＝，所以a＝1．] 三、解答题 9．求下列函数的导数． (1)y＝(2x2－x＋1)4； (2)y＝x； (3)y＝xln(1－x)． (4)y＝ln(ln x)． [解]　(1)y′＝4(2x2－x＋1)3(2x2－x＋1)′＝4(2x2－x＋1)3(4x－1)． (2)y′＝＋x[(1＋x2)]′＝＋x··(1＋x2)(1＋x2)′ ＝＋x··(1＋x2)·2x ＝＋＝． (3)y′＝x′ln(1－x)＋x[ln(1－x)]′＝ln(1－x)＋x·＝ln(1－x)－． (4)y′＝＝． 10．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程． [解]　设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)． 对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x， 对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)， 即y＝－2(x2－2)x＋x－4． ∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)，且－x＝x－4． 解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0． ∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4． 11．已知f(x)为奇函数，且f(x)＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)，则当x＜0时，f ′(x)＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[当x＜0时，f(x)＝－loga(－x)，所以当x＜0时，f ′(x)＝－．] 12．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为”衰变“．