（练习）课时分层作业13 导数的计算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十三)　导数的计算 一、选择题 1．若函数f(x)＝cos x，则＝(　　) A．0　　B．1　　C．－1　　D．以上均不正确 A　[注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故选A．] 2．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝(　　) A．2 　 B．ln 3 C． D．－ln 3 C　[f ′(x)＝axln a，由f ′(1)＝aln a＝ln 27， 解得a＝3，则f ′(x)＝3xln 3，故f ′(－1)＝．] 3．已知直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切，则a的值为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．－1　　　 D．－2 C　[设切点为P(x0，y0)， 则解得a＝－1．] 4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　) A．1 B． C．－ D．－1 A　[因为y′＝2ax，所以切线的斜率k＝2a． 又由题设条件知切线的斜率为2， 则2a＝2，即a＝1，故选A．] 5．(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ D　[易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝　①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为(x0，)(x0＞0)，则x0＝k　②，＝kx0＋b　③，由②③可得b＝，将b＝，k＝x0代入①得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋．] 二、填空题 6．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f ′(x)＋1＝g′(x)的x值为________． 1或－　[由导数的公式知，f ′(x)＝2x，g′(x)＝3x2． 因为f ′(x)＋1＝g′(x)， 所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－．] 7．正弦曲线y＝sin x(x∈(0，2π))上切线斜率等于的点为________． 或　[y′＝(sin x)′＝cos x＝， ∵x∈(0，2π)， ∴x＝或．] 8．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋．若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． 21　[∵y＝x2，∴y′＝2x， ∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0得ak＋1＝ak． ∴数列{an}是等比数列． 又∵a1＝16， ∴a3＝a1＝4，a5＝a3＝1， ∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21．] 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝log2x2－log2x； (2)y＝2sin ． [解]　(1)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝． (2)∵y＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x． 10．已知经过点(3，0)斜率存在的直线l与抛物线y＝x2相交于A，B两点，且过两个交点的抛物线的切线相互垂直，求直线l的斜率k的值． [解]　设l：y＝k(x－3)． 由消去y，得x2－kx＋3k＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝3k． ∵y′＝(x2)′＝2x，∴4x1x2＝－1， ∴12k＝－1， ∴k＝－． 11．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．1 B　[对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn． 令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1， ∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)． 令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝， 故选B．] 12．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A．∪　 B．[0，π) C．　　　　 D．∪ A　[y′＝cos x，其值域为以点P为切点的切线的斜率的取值范围，为[－1，1]，结合正切函数图象及直线倾斜角取值范围[0，π)，可知本题答案为∪．] 13．(多选题)下列各式中，正确的是(　　) A．(ex)′＝ex　 B．(ln x)′＝ C．(e2x)′＝2e2x D．(ln)′＝ ABCD　[根据求导公式可知AB正确， (e2x)′＝[(e2)x]′＝(e2)xln e2＝2e2x， (ln)′＝(loge2x)′＝＝ 故CD正确．] 14．曲线y＝与y＝x2的交点坐标为________，它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________． (1，1)