（练习）课时分层作业8 等比数列的前n项和-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(八)　等比数列的前n项和 一、选择题 1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　) A．63　　　B．64　　　C．127　　　D．128 C　[∵a5＝a1q4，∴q＝±2．∵q＞0，∴q＝2，∴S7＝＝＝127．] 2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A．或5　 B．或5 C．　　 D． C　[由题意易知q≠1，则＝，解得q＝2， 数列是以1为首项，以为公比的等比数列， 由求和公式可得S5＝．] 3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 B　[法一：设等比数列{an}的公比为q，则由 解得 所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B． 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B．] 4．等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4等于(　　) A．28　 B．32 C．35 D．49 A　[∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列． ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或－21． ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2， ∴S4＝28，故选A．] 5．《庄子·天下篇》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万事不竭．”若经过n天，该木棰剩余的长度为an(尺)，则an与n的关系为(　　) A．an＝1－ B．an＝ C．an＝ D．an＝1－ C　[由题意得，每天取的木棰的长度组成一个以为首项，为公比的等比数列，所以an＝1－＝．] 二、填空题 6．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________． 3　[∵S6＝4S3，∴公比q≠1，∴＝4·，∴q3＝3，∴a4＝a1q3＝3．] 7．等比数列的前n项和Sn＝3n＋a，则a＝________． －1　[由题意可得a1＝S1＝31＋a＝3＋a， a2＝S2－S1＝(32＋a)－(3＋a)＝6， a3＝S3－S2＝(33＋a)－(32＋a)＝18， ∵a1，a2，a3成等比数列， ∴62＝18(3＋a)，解得a＝－1.] 8．已知等比数列{an}中前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，则S30＝________． 70　[∵S10，S20－S10，S30－S20(q≠－1)仍成等比数列， 又S10＝10，S20＝30， ∴S30－30＝，即S30＝70．] 三、解答题 9．已知数列{an}，a1，a2，a3，…，an，…，构造一个新数列：a1，(a2－a1)，(a3－a2)，…，(an－an－1)，…，此数列是首项为1，公比为的等比数列． (1)求数列{an}的通项； (2)求数列{an}的前n项和Sn． [解]　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＋＋…＋＝＝． (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝＋＋＋…＋ ＝ ＝n－· ＝n－ ＝(2n－1)＋． 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝2，3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(2n－1)an，求数列{an}的前n项和Tn． [解]　(1)∵3Sn－3Sn－1＝5an－an－1(n≥2)， ∴2an＝an－1，＝．又∵a1＝2， ∴{an}是以2为首项，公比为的等比数列， ∴an＝2×＝22－n． (2)bn＝(2n－1)22－n， Tn＝1×21＋3×20＋5×2－1＋…＋(2n－1)·22－n， Tn＝1×20＋3×2－1＋…＋(2n－3)·22－n＋(2n－1)·21－n， ∴Tn＝2＋2(20＋2－1＋…＋22－n)－(2n－1)·21－n＝2＋－(2n－1)21－n＝6－(2n＋3)×21－n． ∴Tn＝12－(2n＋3)×22－n． 11．若等比数列{an}对一切正整数n都有an＋1＝1－Sn，其中Sn是此数列的前n项和，又a1＝1，则公比q为(　　) A．1　　　B．　　　C．－　　　D．－ B　[当q＝1时，an＋1＝a1，Sn＝na1．又an＋1＝1－Sn对一切正整数n都成立，即an＋1＝1－na1对一切正整数n都成立，∴a1＝1－a1⇒a1＝．这与已知a1＝1矛盾，∴q≠1．∴a1qn＝1－．∵a1＝1， ∴qn＝1－，∴