（练习）课时分层作业7 等比数列的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(七)　等比数列的性质 一 、选择题 1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　) A．4　　　B．8　　　C．16　　　D．32 C　[∵{an}是等比数列，∴a2a6＝a＝42＝16．] 2．若实数a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．无法确定 A　[a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的判别式Δ＝b2－4ac＝－3b2<0，从而函数与x轴无交点．] 3．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx(　　) A．依次成等差数列 B．各项的倒数依次成等差数列 C．依次成等比数列 D．各项的倒数依次成等比数列 B　[因为＝＝＝＝＝＋＝＋， 所以logax，logbx，logcx各项的倒数依次成等差数列．] 4．已知在等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于(　　) A． B． C． D．2 B　[∵a3a9＝a＝2a，∴＝2，即q2＝2． 又q>0，∴q＝． ∴a1＝＝＝．] 5．已知等比数列{an}中，公比q>1，且a1＋a6＝8，a3a4＝12，则＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．3或6 B　[由条件知，公比q＞1，a1＋a6＝8，a1a6＝a3a4＝12，解得a1＝2，a6＝6．又a1a11＝a，∴＝＝＝3．] 二、填空题 6．已知数列1，b1，b2，4是等比数列，则b1b2＝________． 4　[由等比数列的性质可知b1b2＝1×4＝4．] 7．在各项都为正数的等比数列{an}中，a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________． 10　[log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log35＝log395＝10．] 8．若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2－logba)(1＋logca)＝________． 2　[由题意知b2＝ac，即a＝， ∴(2－logba)(1＋logca)＝＝logbc×2logcb＝2．] 三、解答题 9．在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，求a10的值． [解]　由a4a7＝－512，知a3a8＝－512． 解方程组 得或 所以q＝ ＝－2，或q＝ ＝－， 当q＝－2时，a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512； 当q＝－时，a10＝a3q7＝128×＝－1． 10．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． [解]　法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，(a≠0)， 由条件得 解得或 当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1． 法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)． 由条件得 解得或 当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1． 11．在各项均为实数的等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a5＝27，＋＋…＋＝3，则a3＝(　　) A．±9　　　　B．9　　　　C．±3　　　　D．3 D[由＋＋…＋＝3，得知＋＋＝＝3， 又a1＋a2＋…＋a5＝27，∴a＝9， ∴a3＝±3，经检验a3＝－3不合题意，故选D．] 12．等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的条件是(　　) A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0，0<q<1或a1<0，q>1 D．q>1 [答案]　C 13．(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列结论正确的是(　　) A．0＜q＜1 B．a6＞1 C．T12＞1 D．T13＞1 ABC　[由于等比数列{an}的各项均为正数，且a6＋a7＞a6a7＋1，所以(a6－1)(a7－1)＜0，所以a6，a7中，一个大于1，另一个小于1，又a1＞1，所以a6＞1，a7＜1，所以0＜q＜1，因为a6a7＞1，所以T12＝(a6a7)6＞1，T13＝a＜1．] 14．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a5a13＝16，则a9＝________；an＝________． 4　2n－7　[a9＝＝＝4，an＝4×2n－9＝2n－7．] 15．设{an}是公差d≠0的等差数列，且ak1，ak2，…，akn恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn． [解]　由题意：a1，a5，a17成等