（练习）课时分层作业6 等比数列-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(六)　等比数列 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a1＝4，公比q＝3，则通项公式an等于(　　) A．3n　　　 B．4n C．3·4n－1 D．4·3n－1 D　[an＝a1qn－1＝4×3n－1．] 2．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　) A．1或－ B．1 C．－ D．－2 A　[由数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，得2a1q2＝a1＋a1q． ∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或－．] 3．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　) A．n－1 B．－ C．n D．－n A　[∵a5＝－8a2，∴q3＝－8，即q＝－2，又a5>a2， ∴a5>0>a2，从而a1>0，即|a1|＝a1＝1， ∴an＝a1qn－1＝．] 4．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 D　[∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3， ∴1＋q＋q2＝7，∴q＝2或q＝－3 (舍去)， ∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84．] 5．若数列{an}是等比数列，下列命题错误的是(　　) A．{|an|}是等比数列 B．{10an}是等比数列 C．是等比数列 D．{a2n}是等比数列 B　[用等比数列的定义易验证{|an|}，，{a2n}是等比数列，故选B．] 二、填空题 6．等差数列{an}的第3，7，10项成等比数列，那么公比q＝________． 1或　[当公差d＝0时，q＝1； 当d≠0时，q＝＝＝＝＝．] 7．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q＝________． －9　[∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1， 而{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中， ∴{an}有连续四项在集合{－54，－24，18，36，81}中． ∵{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1． ∴{an}中的连续四项为－24，36，－54，81， ∴q＝－＝－，∴6q＝－9．] 8．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋6，则an＝________． 4×3n－1－3　[∵an＋1＝3an＋6， ∴an＋1＋3＝3an＋9＝3， ∴数列{an＋3}为等比数列，且首项为a1＋3＝4， ∴an＋3＝4×3n－1，即an＝4×3n－1－3．] 三、解答题 9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝． (1)求数列{an}的通项公式； (2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？ [解]　(1)因为2an＝3an＋1， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列， 又a2·a5＝， 所以a＝，由于各项均为负， 故a1＝－，an＝－． (2)设an＝－，则－＝－，＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项． 10．等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 求数列{an}的通项公式． [解]　当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18， 所以公式q＝3， 故an＝2·3n－1． 11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋． (1)证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋． 又a1－1＝1， 所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列． (2)由(1)可知an－n＝4n－1， 于是，数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n． 12．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1．若am＝a1a2a3a4a5，则m＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 C　[在等比数列{an}中， ∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10． 又∵am＝qm－1，∴m－1＝10， ∴m＝11．] 13．已知直线y＝b与曲线f(x)＝sin x在y轴右侧依次的三个交点的横坐标x1，x2，x3(其中x1是第