（练习）课时分层作业4 等差数列的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(四)　等差数列的性质 一、选择题 1．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a3＋a5＝2π，则cos a3＝(　　) A．　　　B．－　　　C．　　　D．－ D　[∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝2π，∴a3＝π，∴cos a3＝cos π＝－．] 2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　) A．20　　　 B．22　　　 C．24　　　　 D．28 C　[由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120， ∴a8＝24， ∴2a10－a12＝a10－(a12－a10)＝a10－2d＝a8＝24．] 3．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则等于(　　) A． B． C． D． C　[∵b－a＝3d1，且b－a＝4d2，∴＝＝．] 4．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 C　[因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也是等差数列，∵a1＋b1＝100，又a2＋b2＝100，∴a37＋b37＝100．故选C．] 5．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则＝(　　) A．1　　　B．　　　C．　　　D． C　[设方程x2－2x＋m＝0的两根分别为x1，x2，方程x2－2x＋n＝0的两根分别为x3，x4， 则x1＋x2＝x3＋x4＝2， 不妨设数列的首项为x1，根据等差数列的性质，数列的第四项为x2， 由题意知x1＝，∴x2＝， ∴数列的公差d＝＝， ∴数列的中间两项为，， ∴m＝×＝，n＝×＝， ∴＝＝．] 二、填空题 6．已知{an}是等差数列，a3＋a9＝12，则a6等于________． 6　[a6＝＝＝6．] 7．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝11，则公差d＝________． 4　[d＝＝＝4．] 8．在等差数列{an}中，若a3－a4＋a5－a6＋a7＝100，则a5＝________． 100　[a3＋a7＝a4＋a6，则a3－a4＋a5－a6＋a7＝(a3＋a7)－(a4＋a6)＋a5＝a5＝100．] 三、解答题 9．若三个数a－4，a＋2，26－2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列． [解]　当a－4是等差中项时，2＝(a＋2)＋(26－2a)， 解得a＝12，相应的数列为：2，8，14； 当a＋2是等差中项时，2＝＋， 解得a＝6，相应的数列为：2，8，14； 当26－2a是等差中项时，2＝(a－4)＋(a＋2)， 解得a＝9，相应的数列为：5，8，11． 10．在等差数列{an}中，若 a1＋a2＋…＋a5＝30， a6＋a7＋…＋a10＝80， 求a11＋a12＋…＋a15． [解]　∵a1＋a11＝2a6， a2＋a12＝2a7， … a5＋a15＝2a10， ∴a6＋a7＋…＋a10 ＝， ∴80＝， ∴a11＋a12＋…＋a15＝130． 11．如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14　 B．21　 C．28　 D．35 C　[∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4． 又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28，故选C．] 12．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　) A．> B．< C．＝ D．≤ A　[＝≥，又b，c不相等，故选A．] 13．(多选题)已知{an}是公差d>0的等差数列，下列结论正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 AD　[an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以A正确； 如an＝3n－12满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以B错； 若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋，是递减数列，所以C错； an＋3nd＝4dn＋(a1－d)，所以是递增数列，D正确．] 14．已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则(1)∠B等于________；(2)ac与b2的大小关系是________． (1)　(2)b2≥ac　[(1)由已知得B＝＝，解得B＝． (2)在△ABC中，b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac， 所以b2＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac．] 15．在等差数列{an}中，已知公差d，an≠0，设关于x的方程akx2＋2ak＋1x＋ak＋2＝0(k∈N＋)． (1)试问：这些方程是