（练习）课时分层作业3 等差数列-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(三)　等差数列 一、选择题 1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为(　　) A．4n－7　　　 B．－4n－7 C．4n＋1 D．－4n＋1 D　[∵a1＝－3，d＝(－7)－(－3)＝－4， ∴an＝－3－4(n－1)＝－4n＋1．] 2．已知在等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 C　[由等差数列的通项公式得an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6．] 3．已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于(　　) A．1　　　B．3　　　C．5　　　D．6 B　[设{an}的首项为a1，公差为d， ∴解得d＝3．] 4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，a＋1，a＋3，则该数列的通项公式为(　　) A．an＝2n－5 B．an＝2n－1 C．an＝2n＋a－3 D．an＝2n＋a－1 C　[由a1＝a－1，d＝(a＋1)－(a－1)＝2， 得an＝2n＋a－3．] 5．已知等差数列{an}的通项公式an＝2n－1，n∈N*，若bn＝a2n－1，则数列{bn}(　　) A．也是等差数列，且公差也为2 B．也是等差数列，但公差为4 C．也是等差数列，但公差为1 D．不是等差数列 B　[bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3， ∴bn＋1－bn＝4(n＋1)－3－4n＋3＝4． ∴{bn}是等差数列，公差为4．] 二、填空题 6．定义一种运算“△”，∀n∈N*，(1)2△2021＝1；(2)(2n＋2)△2021＝(2n)△2021＋2，则2022△2021＝________． 2021　[设an＝(2n)△2021，则 a1＝1，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2， 于是{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴2022△2021＝a1011＝2×1011－1＝2021．] 7．在下面数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于下表中的第n行．第(n＋1)列的数是________． n＋n2　[观察数表知，第n行的数组成以n为首项，以n为公差的等差数列，故第n行、第n＋1列的数是n＋n2．] 8．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(， )在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________． 3n2　[∵点(，)在直线x－y－＝0上， ∴－－＝0，即－＝(n≥2)． 则数列{}是以为首项，为公差的等差数列， ∴＝＋(n－1)＝n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n2．] 三、解答题 9．在等差数列{an}中a1＝83， a4＝98，则这个数列有多少项在300到500之间？ [解]　∵a4＝a1＋(4－1)d， ∴98＝83＋(4－1)d，解得d＝5， ∴an＝83＋5(n－1)＝5n＋78， 由300<an<500，得<n<， ∴在300到500之间有84－44＝40项． 10．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项． [解]　(1)证明：因为3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)， 整理得－＝3(n≥2)， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝． 11．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是(　　) A．92　　　B．47　　　C．46　　　D．45 C　[由题意得an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3，由an＝－89，得n＝46．] 12．在等差数列{an}中，a1＝4，a3＝1，则|an|的最小值是(　　) A．0 B． C．1 D． B　[由，解得， 所以an＝4－(n－1)＝， 所以|an|＝，又n∈N*， 所以|an|的最小值为．] 13．(多选题)若数列{an}是等差数列，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an＋2}一定是等差数列 B．数列{an－2}一定是等差数列 C．数列{2an}一定是等差数列 D．数列一定是等差数列 ABCD　[利用等差数列的定义易判断ABCD均是正确的．] 14．在等差数列{an}中，a3＝10，a10＝31，则首项a1＝_________，公差d＝___________． 4　3　[由题意知解得a1＝4，d＝3．] 15．有两个等差数列2，6，10，…，及2，8，14，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，求数列{an}的通项公式． [解]　记这两个数列分别为{bn}与{cn}