（练习）课时分层作业2 数列的函数特性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(二)　数列的函数特性 一、选择题 1．下列四个数列中，是递增数列的是(　　) A．　　　 B． C． D． C　[由于函数y＝cos，在x∈[1，＋∞)上单调递增，所以数列是递增数列．] 2．已知数列{an}满足an＝，其中a，b，c均为正数，则此数列(　　) A．递增　 B．递减 C．先增后减　 D．先减后增 A　[an＝，∵a，b，c均为正数，∴an随n的增大而增大，故选A．] 3．已知数列{an}的通项公式an＝n＋(n∈N＋)，则数列{an}的最小项是(　　) A．a12 B．a13 C．a12或a13 D．不存在 C　[函数y＝x＋在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，又12＜＜13．且a12＝a13＝25，故选C．] 4．已知函数f(x)＝，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A．　B． C．(2，3)　D．(1，3) C　[根据题意，an＝f(n)＝，要使{an}是递增数列，需满足，解得2＜a＜3．] 5．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[当an＋1>|an|(n＝1，2，…)时， ∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列． 当{an}为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1，2，…)不一定成立． 综上知，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．] 二、填空题 6．已知{an}是递增数列，且对任意n∈N＋，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________． (－3，＋∞)　[由题意知，an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0，又n∈N＋，∴λ＞－2n－1＝－3．] 7．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的最大项是________，最小项是________． 4　0　[∵an＋1－an＝－ ＝ ＝ ＝－ ＝－． 当n≤2时，an＋1－an<0，即an＋1<an； 当n＝3时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n≥4时，an＋1－an<0，即an＋1<an． 又当n≤3时，an<2；当n≥4时，an>2． ∴a4>a5>…>an>…>2>a1>a2>a3． 故a3最小为0，a4最大为4．] 8．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则a16＝________． 　[∵a1＝2，由an＋1＝得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，∴{an}是周期为4的数列， ∴a16＝a4×4＝a4＝．] 三、解答题 9．已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N＋)， (1)求证：an＜1； (2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？ [解]　(1)证明：an＝f(n)＝＝1－<1． (2)∵an＋1－an＝－＝－＝>0， ∴an＋1>an， ∴{an}是递增数列． 10．已知在数列{an}中，an ＝(n∈N＋)，求数列{an}的最大项． [解]　考察函数y＝＝1＋， 因为函数在(－∞，15.6)上单调递减，在(15.6，＋∞)上单调递减， 所以当n>15.6且n最接近15.6且n∈N＋时，an最大， 故a16最大，即第16项最大． 11．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　　) A．a1　　　B．a9　　　C．a10　　　D．不存在 A　[∵a1>0且an＋1＝an，∴an>0，＝<1， ∴an＋1<an，∴此数列为递减数列，故最大项为a1．] 12．数列{an}的首项a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于(　　) A．－100　　 B．100 C． D．－ A　[∵a⊥b，∴a·b＝0，即nan＋1＋an＝0， ∴＝－， ∴··…·＝×××…×＝－100， ∴a100＝－100．] 13．(多选题)数列{an}中，a1＝3，a2＝7，当n≥1时，an＋2等于anan＋1的个位数，则an的个位数不可能是(　　) A．1 B．4 C．6 D．9 BC　[a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，a8＝7，a9＝1，…，所以数列{an}是以6为周期的周期数列，an的个位数不可能是4与6．] 14．已知f(x)＝，各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2 020＝a2 022，则a11＝_________，a20＝________． 　　[由题意