（练习）课时分层作业1 数列的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(一)　数列的概念 一、选择题 1．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(n∈N＋) B．an＝(n∈N＋) C．an＝(n∈N＋) D．an＝(n∈N＋) C　[0可写为，故分母是正奇数列{2n－1}，分子是0，2，4，6，其通项公式为2(n－1)，故所求的通项公式为an＝(n∈N＋)．本题也可用验证法求解，如令n＝2，代入四个选项，分别求值验证即可．] 2．已知直线y＝25－3x，点(n，an)在该直线上，则a3＋a5＝(　　) A．24　　　B．25　　　C．26　　　D．27 C　[由题意知an＝25－3n，∴a3＋a5＝(25－3×3)＋(25－3×5)＝26．] 3．在数列a1，a2，…，an，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第49项(　　) A．不是原数列的项 B．是原数列的第12项 C．是原数列的第13项 D．是原数列的第14项 C　[∵＝12，∴新数列的第49项是原数列的第13项．] 4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋(－1)n×2，则其第3，4项分别是(　　) A．9，14 B．9，18 C．7，18 D．7，14 C　[a3＝32－2＝7，a4＝42＋2＝18．] 5．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　) A． B． C． D． D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝．] 二、填空题 6．已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，…，则它的一个通项公式为________． an＝10n＋n　[11＝10＋1， 102＝102＋2， 1003＝103＋3， 10004＝104＋4， … 由此可归纳出an＝10n＋n．] 7．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键________个．(用含n的代数式表示) (1)　　(2)　　　(3)　　(n) 5n＋1　[各图中的“短线”依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，于是第n结构图化学键数为an＝6＋5(n－1)＝(5n＋1)个．] 8．数列{an}的通项公式an＝，则a8＝________，－3是此数列的第________项． 3－2　9　[a8＝＝－＝3－2． ∵－3＝－＝，∴n＝9．] 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，…； (2)0.8，0.88，0.888，…； (3)，，－，，－，，…． [解]　(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝． (3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3．因此把第1项变为－． 至此原数列已化为－，，－，，…， ∴an＝(－1)n·． 10．已知{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，试写出该数列的前5项，并写出这个数列的一个通项公式． [解]　∵a1＝3，an＋1＝2an＋1，∴a2＝7＝23－1， a3＝15＝24－1，a4＝31＝25－1， a5＝63＝26－1， ∴猜得an＝2n＋1－1． 11．数列－，，－，，…的通项公式an为(　　) A．(－1)n＋1 B．(－1)n＋1 C．(－1)n D．(－1)n D　[观察式子的分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)n．] 12．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21 C　[由已知a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30．] 13．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为(　　) 4＝1＋3　 9＝3＋6　　 16＝6＋10 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．64＝28＋36 BD　[这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15＋21＝36，28＋3