第2章 8 数学探究活动（二）探究函数性质(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦三次函数性质探究，以导数为工具，系统梳理单调性（基于判别式与a的符号）、极值（存在条件及求解）等核心知识点，并通过含参单调区间、单调性求参、极值综合应用等案例构建知识支架。 资料特色在于结合导数工具与经典案例，培养学生用数学眼光观察函数规律，通过分类讨论（如判别式分析）发展数学思维，以表格分析和规范解题步骤提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生归纳题型，查漏补缺。

§8　数学探究活动（二）：探究函数性质 　　三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）是高中阶段一种重要的函数，同时又是高考的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性，下面用导数工具探求其图象及性质. 一、三次函数的图象和性质 三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），导数f'（x）＝3ax2＋2bx＋c（a≠0），Δ＝4b2－12ac＝4（b2－3ac）. 1.三次函数的单调性 性质1：若a＞0且b2－3ac≤0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数； 若a＜0且b2－3ac≤0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 性质2：若b2－3ac＞0，则f'（x）＝0有两个解： x1＝，x2＝. 当a＞0且b2－3ac＞0时，f（x）在（－∞，x1）和（x2，＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减； 当a＜0且b2－3ac＞0时，f（x）在（－∞，x2）和（x1，＋∞）上单调递减，在（x2，x1）上单调递增. 根据a和Δ的不同情况，其图象特征分别为： 2.三次函数的极值 性质3：当b2－3ac≤0时，f（x）无极值. 当b2－3ac＞0时，（1）若a＞0，f（x）在x1＝处有极大值f（x1），f（x）在x2＝处有极小值f（x2）；（2）若a＜0，f（x）在x1＝处有极大值f（x1），f（x）在x2＝处有极小值f（x2）. 二、经典案例 1.含参三次函数单调区间的求解 三次函数单调区间由f'（x）＞0或f'（x）＜0的解集来决定，因此可以从根的大小、判别式Δ和二次项系数等方面来入手讨论. 求三次函数的单调区间，就是确定二次不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0的解集，其解法等同于含参数的一元二次不等式的解法. 【例1】　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值. （1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间； 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'（x）＝3x2＋2ax＋b，由解得 f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （ －∞，－） － （ －，1） 1 （1，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f（x）的单调递增区间是（ －∞，－）和（1，＋∞），单调递减区间是（ －，1）. （2）若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求实数c的取值范围. 解：（2）因为f（x）＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1，2]， 根据（1）中函数f（x）的单调性， 得f（x）在区间［－1，－）上单调递增，在区间［－，1）上单调递减，在区间[1，2]上单调递增， 所以当x＝－时，f（ －）＝＋c为极大值， 而f（2）＝2＋c＞＋c，所以f（2）＝2＋c为最大值. 要使f（x）＜c2对x∈[－1，2]恒成立，只需c2＞f（2）＝2＋c，解得c＜－1或c＞2. 所以实数c的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 2.三次函数根据单调性求参问题 已知三次函数单调性求参数范围可转化为f'（x）≥0恒成立或f'（x）≤0恒成立问题来处理，注意等号不能遗漏，否则会造成参数范围的漏解. 已知三次函数单调性求参数范围可有两种方法解决，一是分离参数，二是二次函数思想.做题时要随机应变. 【例2】　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋2x－1. （1）f（x）在区间[1，3]上单调递增，求a的取值范围； 解：（1）∵f（x）在[1，3]上单调递增， ∴f'（x）＝3x2＋2ax＋2≥0在[1，3]上恒成立，即a≥在[1，3]上恒成立，考虑函数g（x）＝在[1，3]上的最大值，g'（x）＝， 当x∈[1，3]时，g'（x）＜0，∴g（x）在[1，3]上单调递减，g（x）max＝g（1）＝－， ∴a≥－，故a的取值范围为［－，＋∞）. （2）f（x）在区间[－1，2]上单调递减，求a的取值范围； 解：（2）∵f（x）在[－1，2]上单调递减， ∴f'（x）＝3x2＋2ax＋2≤0在[－1，2]上恒成立， 即f'（x）＝3x2＋2ax＋2在[－1，2]上的最大值小于或等于0，考虑函数h（x）＝3x2＋2ax＋2在[－1，2]上的最大值，最大值为h（－1）或h（2）， ∴即无解，则a不存在，a的取值范围为空集. （3）f（x）在（0，1）上不单调，求a的取值范围. 解：（3）f'（x）＝3x2＋2ax＋2， f（x）在（0，1）上不单调⇔f'（x）在（0，1）上有正有负. ①f（x）在（0，1）上只有一个极值点， 第一种情形：f'（0）·f'（1）＜0，即2（3＋2a＋2）＜0，即a＜－； 第二种情形：f'（0）＝0，此时2≠0，舍去； 第三种情形：f'（1）＝0，此时a＝－，f'（x）＝0的两个根为1和，满足题意.综上，a≤－. ②f（x）在（0，1）上有两个极值点，则解得－＜a＜－. 综合①②得a的取值范围为（－∞，－）. 3.三次函数单调性与极值综合应用 【例3】　若函数f（x）＝ax3－（a2－4）x＋4，当x＝1时，函数f（x）有极大值. （1）求函数f（x）的解析式； 解：（1）f'（x）＝3ax2－（a2－4）， ∵当x＝1时，函数f（x）有极大值， ∴f'（1）＝3a－（a2－4）＝0，解得a＝4或a＝－1. 若a＝4，f'（x）＝12x2－12＝12（x＋1）（x－1）， 可得当－1＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增. ∴当x＝1时，函数f（x）有极小值，不符合题意，舍去. 若a＝－1，f'（x）＝－3x2＋3＝－3（x＋1）（x－1）， 可得当－1＜x＜1时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减. ∴当x＝1时，函数f（x）有极大值， 则f（x）＝－x3＋3x＋4. （2）若存在x∈[－3，2]，使得f（x）＋m≥0能成立，求m的取值范围. 解：（2）由（1）知f（x）＝－x3＋3x＋4，存在x∈[－3，2]，使得f（x）＋m≥0能成立，则－m≤f（x）max. 由（1）可得，函数f（x）在区间[－3，－1）上单调递减，在区间（－1，1）上单调递增，在区间（1，2]上单调递减. 而f（－3）＝22，f（1）＝6，∴f（x）max＝22. ∴－m≤22，解得m≥－22. ∴m的取值范围是[－22，＋∞）. 探究活动小结： 1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类题型：（1）已知函数解析式求单调性问题；（2）已知函数解析式求极值问题；（3）已知含参数的函数解析式的极值求参数问题；（4）已知含参数的函数解析式的单调性求参数问题. 2.通过上述案例研究了三次函数的性质，同时验证了三次函数与导数知识的关系，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，为更有效解决三次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决办法. 3.上述案例均以三次函数为背景，主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用，意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $