（讲义）第1章 §5 数学归纳法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

*§5　数学归纳法 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养． 1．在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ [提示]　能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件： (ⅰ)第一块骨牌倒下；(ⅱ)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 2．你认为第二个条件的作用是什么？ [提示]　条件(ⅱ)给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k＋1块也倒下． 数学归纳法 一般地，证明某些与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时，命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法． 数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？ [提示]　数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可．另外，在第二步中证明n＝k＋1时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． (　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1． (　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 C　[凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3．] 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是________． (2k＋2)＋(2k＋3)　[当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)， 当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)， 所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．] 4．求证：1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)． [证明]　①当n＝1时，左边＝1，右边＝，所以不等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋＋…＋＞． 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋2k－1·＝． 所以当n＝k＋1时， 不等式成立． 由①②可知1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立． 类型1　用数学归纳法证明等式 【例1】　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N＋都成立． 用数学归纳法证明等式的规则 (1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据． (2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法． [跟进训练] 1．用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝． [证明]　(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k时等式成立即有＋＋…＋＝，那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 类型2　用数学归纳法证明不等式 【例2】　证明对任意的n∈N＋，××…×＞均成立． [思路点拨]　本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”． [证明]　①当n＝1时，左式＝，右式＝， 左式＞右式，所以结论成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即××…×＞， 则当n＝k＋1时，××…××＞×＝， 要证当n＝k＋1时结论成立， 只需证≥． 即证≥， 由基本不等式知＝≥成立， 故≥成立， 所以，当n＝k＋1时，结论成立． 由①②可知，n∈N＋时，不等式××…×＞成立． 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)