（讲义）第1章 §3 3.1 第2课时 等比数列的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

第2课时　等比数列的性质 1．结合等差数列的性质，理解等比数列的性质．(重点、难点) 2．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项．(重点) 3．理解等比数列的单调性与a1，q的关系．(难点) 1．通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养． 2．借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养． 在数列{an}中，m，n，p，s∈N＋，且m＋n＝p＋s． 1．如果{an}是等差数列，则am＋an＝ap＋as． 类比等差数列，如果{an}是等比数列，你有什么结论？ [提示]　am·an＝ap·as． 2．你能证明问题1得到的结论吗？ [提示]　am ·an＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，ap·as＝a1qp－1·a1qs－1＝aqp＋s－2， 又m＋n＝p＋s，则am·an＝ap·as． 1．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G为a与b的等比中项，G＝±． 2．等比数列的性质 已知数列{an}为公比为q的等比数列，则 (1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，q，p，k∈N＋)，则am·an＝ap·aq＝a； (2)＝qm－n． 3．等比数列的单调性如下表： a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的单调性 减 非增非减 增 增 非增非减 减 在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1·an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？ [提示]　不一定．例如对于数列0，0，0，…，总有a＝an－1·an＋1，但这个数列不是等比数列． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当q>1时，等比数列{an}是递增数列． (　　) (2)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝a，则m＋n＝p＋q＝2k． (　　) (3)若数列{an}是等比数列，则数列是等比数列． (　　) (4)若a，b，c成等比数列，则a与c的等比中项一定是b． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝(　　) A．10　　　B．25　　　C．50　　　D．75 B　[a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，∴a8·a9·a10·a11＝2＝25．] 3．在由正数组成的等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝________． 16　[∵{an}成等比数列， ∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列， ∴2＝， ∴a5＋a6＝＝16．] 4．已知在等比数列{an}中，4a7＝a3·a11，数列{bn}为等差数列，且b7＝a7，求b6＋b8的值． [解]　在等比数列{an}中，4a7＝a3·a11＝a，∴a7＝4， 又∵b7＝a7＝4， ∴b6＋b8＝2b7＝2×4＝8． 类型1　等比数列的性质及应用 【例1】　(1)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________． (2)在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________． [思路点拨]　观察已知式与待求式的结构特征，联想等比数列的性质，利用等比数列的性质求解． (1)5　(2)192　[(1)由等比数列性质a2a4＝a，a4a6＝a， 把a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25化为a＋2a3a5＋a＝25， ∴(a3＋a5)2＝25，又an>0， ∴a3＋a5＝5． (2)∵{an}是等比数列， ∴a3·a4·a5，a6·a7·a8，a9·a10·a11仍成等比数列，此新数列公比q＝＝＝8， ∴a9a10a11＝(a6a7a8)·q＝24×8＝192．] 1．利用等比数列的性质解题，会起到化繁为简的效果． 2．等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥“下标”的“指引”作用． [跟进训练] 1．(1)在等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________． (2)在等比数列{an}中，若a1＝1，a5＝10，则a9＝________． (1)－217　(2)100　[(1)由题意得a1a2a3…a15a16a17＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)…a9＝a·a·…·a9＝a＝(－2)17＝－217． (2)∵{an}是等比数列， ∴a1，a5，a9仍是等比数列，a＝a1a9， ∴a9＝＝＝100．] 类型2　等比中项及应用 【例2】　三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数