（讲义）第1章 §3 3.1 第1课时 等比数列-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列 1．掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式．(重点) 2．理解等比数列通项公式的推导过程．(难点) 3．掌握等比数列通项公式的简单应用．(重点、难点) 1．通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学运算素养． 我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 1．你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？ [提示]　9，92，93，…，98． 2．对上述数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)? [提示]　＝9． 1．等比数列的定义 文字语言 从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，这样的数列就叫作等比数列 符号语言 若＝q(n≥2，q≠0)，则数列{an}为等比数列 2．等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． 1．为什么等比数列的每一项均不为零？ [提示]　若存在一项为零，设这一项为ak，则 (1)若ak不是最后一项，它将不能与ak＋1作比； (2)若ak是最后一项，可推知公比q等于零，从而a2＝0，它将不能与a3作比． 故等比数列的每一项均不能为零． 2．常数列一定是等比数列吗？ [提示]　不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列． 3．试由an＝a1···…·推导出等比数列{an}的通项公式． [提示]　＝a1qn－1，此方法称之为累乘法． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)等比数列的任意一项均不为零． (　　) (2)等比数列{an}的公比q＝． (　　) (3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac． (　　) (4)∀n∈N*，an＋1＝qan，其中q是常数且不为零，则 {an}是等比数列． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为(　　) A．·2n　　 B．·2n－2 C．3·2n－2　 D．3·2n C　[∵q3＝＝＝8，∴q＝2，又a1＝＝， ∴an＝×2n－1＝3·2n－2．] 3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________． 　[∵a2＝a1q＝2， ① a5＝a1q4＝， ② ∴②÷①得：q3＝， ∴q＝．] 4．已知在数列{an}中，lg an＝3n＋5 ，试用定义证明数列{an}是等比数列． [证明]　由lg an＝3n＋5 ，得an＝103n＋5， ∴＝＝10[3(n＋1)＋5]－(3n＋5)＝103， ∴数列{an}是等比数列． 类型1　等比数列的通项公式 【例1】　已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式． [思路点拨]　欲求an，只需求首项a1和公比q，故可利用a3＝2，a2＋a4＝，建立关于a1和q的方程组求解． [解]　设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝＝，a4＝a3q＝2q， 所以＋2q＝，解得q1＝，q2＝3． 当q＝时，a1＝18，所以an＝18×＝＝2×33－n； 当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n－1＝2×3n－3． 1．等比数列的通项公式涉及首项a1、末项an、公比q，以及项数n，共四个量，已知其中三个量就可求出其他一个量． 2．基本量的计算主要是方程思想的应用，根据已知条件列出方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出基本量，在解题中注意准确运用公式，注意公式运用的合理性和准确性． [跟进训练] 1．在等比数列{an}中，a3＝6，a4＝18，求a1＋a2． [解]　法一：由题意知，解得 ∴a1＋a2＝a1＋a1q＝＋2＝． 法二：由题意知，q＝＝＝3， 又a3＝6，∴a1×32＝6，∴a1＝， ∴a2＝a1q＝×3＝2， ∴a1＋a2＝＋2＝． 法三：由题意知，q＝＝＝3， ∴＝q2＝9， ∴a1＋a2＝＝＝． 类型2　等比数列的判定 【例2】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，试证明是等比数列． [思路点拨]　按定义，证明任意相邻两项的比为同一个常数，即为常数，可从递推公式变形入手． [证明]　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2． 由a1＝1，知a1＋1≠0，可得an＋1≠0． ∴＝2． ∴数列是等比数列． 1．证明一个数列是等比数列，可考虑用定义证明，即证明＝q(q为常数，且n≥2)． 2．说明一个数列不是等比数列，只需说明存在两个相邻两项的比不