（讲义）第1章 §2 2.1 第2课时 等差数列的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

第2课时　等差数列的性质 1．了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差d的几何意义． 2．掌握等差数列的性质及应用． 3．掌握等差中项的概念及应用． 1．通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养． 2．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养． 看下面三个等差数列： (1)1，3，5，7，9，11，13，… (2)5，2，－1，－4，－7，－10，… (3)2，2，2，2，2，2，… 各个数列中，a1＋a5与a2＋a4的值有怎样的数量关系？这种关系是巧合吗？如果换为a1＋a4 与a2＋a3呢？你能给出一般性的结论吗？ [提示]　略． 1．等差数列的图象 由an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中d是该直线的斜率． 2．等差数列的单调性 (1)当d＞0时，{an}为递增数列； (2)当d＜0时，{an}为递减数列； (3)当d＝0时，{an}为常数列． 3．等差数列的性质 (1)等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，A＝． (2)如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at． 1．已知等差数列{an}的两项，是否可确定这个数列的通项公式？请从几何意义上给出解释． [提示]　可以确定，因为数列的两项对应数列图象上的两点，又因等差数列的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，由两点确定一条直线知，可以确定这个数列的通项公式． 2．已知等差数列{an}的两项am，an，如何用am，an表示公差d？并解释公差d的几何意义． [提示]　d＝．d是直线y＝dx＋(a1－d)的斜率． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q． (　　) (2)若A＝，则a，A，b成等差数列． (　　) (3)若{an}是等差数列，则an＝am＋(n－m)d． (　　) (4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．若等差数列{an}的公差为d，则{3an＋2}是(　　) A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列 C．公差为3d的等差数列 D．非等差数列 C　[设bn＝3an＋2，则bn＋1－bn＝3an＋1＋2－3an－2＝3(an＋1－an)＝3d．] 3．已知在等差数列{an}中，a6＋a10＝20，则a8的值是________． 10　[a8＝＝＝10．] 4．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8和a6＋a7． [解]　∵a2＋a11＝a3＋a10＝a5＋a8＝a6＋a7， ∴a5＋a8＝a6＋a7＝＝＝18． 类型1　等差数列项的性质及应用 【例1】　在等差数列{an}中， (1)若a1＋a2＋a3＝6，则a2＝________； (2)若a1＋a2＝3，a3＋a4＝7，则a5＋a6＝_________． (3)若am＝n，an＝m，其中m≠n，则公差d＝________． [思路点拨]　观察已知式与待求式的结构特征，联想等差数列的性质，利用等差数列的性质求解． (1)2　(2)11　(3)－1　[(1)∵a1＋a3＝2a2，∴3a2＝6，∴a2＝2． (2)∵a1＋a5＝2a3，a2＋a6＝2a4， ∴(a1＋a5)＋(a2＋a6)＝2(a3＋a4)， 即(a1＋a2)＋(a5＋a6)＝2(a3＋a4)， ∴3＋(a5＋a6)＝2×7． ∴a5＋a6＝11． (3)d＝＝＝－1．] [母题探究] 在第(1)问的条件下，求a3＋a4－a5的值． [解]　法一：设数列{an}的公差为d，则 a3＋a4－a5＝a3－(a5－a4)＝a3－d＝a2＝2． 法二：a3＋a4－a5＝a2＋a5－a5＝a2＝2． 1．本题除了用性质法求解外，也可用基本量法求解，即将已知式与待求式用等差数列的基本量a1和d表示出来，通过解方程(组)或整体代换求解． 2．若注意到{a2n－1＋a2n}是等差数列，则第(2)问的求解会更简单，事实上第(2)问是已知等差数列{a2n－1＋a2n}的前两项求第三项． 3．若{an}是等差数列，则公差d＝，p，q∈N*；an＝ap＋(n－p)，p，q，n∈N*． 类型2　利用等差中项判定等差数列 【例2】　在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，＝． 求证：数列{an}是等差数列． [思路点拨]　通过证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N＋)来证明． [证明]　当n≥2时，由＝，得(n－1)an＋1＝nan， ∴nan＋2＝a