（讲义）第1章 §2 2.1 第1课时 等差数列-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列 1．理解等差数列的概念．(重点) 2．掌握等差数列的判定方法．(难点) 3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．(重点、难点) 1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养． 1．先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点． 1，2，(　)，4，5，… 2，5，8，(　)，14，… －2，3，8，(　)，18，… [提示]　后一项减前一项都等于常数． 2．对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)? [提示]　an＋1－an＝d(d为常数)． 1．等差数列的定义 文字语言 从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，称这样的数列为等差数列 符号语言 若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列 2．等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 1．若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？ [提示]　一个数列从第 2项起，每一项与它前 一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列． 2．若数列{an}的通项an＝ 试问数列{an}是等差数列吗？ [提示]　不是． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知a3与a5，可以求出等差数列{an}的通项公式． (　　) (2)在等差数列{an}的四个量a1，d，n，an中，知道其中三个量，可以求出其余的一个量． (　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数． (　　) (4)∀n∈N*，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．－2　　　　D．－3 [答案]　C 3．等差数列{an}，a1＝7，a7＝1，则a5＝________． 3　[a1＝7，a7＝1，由an＝a1＋(n－1)d得1＝7＋6d， ∴d＝－1， ∴a5＝a1＋4d＝3．] 4．若an＝pn＋q(p，q为常数)，问{an}是否为等差数列？ [解]　∵an＝pn＋q， ∴an＋1＝p(n＋1)＋q， ∴an＋1－an＝p(常数)． ∴{an}是公差为p，首项为p＋q的等差数列． 类型1　等差数列的通项公式 【例1】　在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an． [思路点拨]　欲求an，只需求首项a1和公差d，故可利用a5＝11，a8＝5，建立关于a1和d的方程组求解． [解]　设数列{an}的公差为d， 由a5＝11，a8＝5，得 即解得a1＝19，d＝－2， 所以数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n． 1．首项a1和公差d是等差数列{an}的两个基本量，有关等差数列的问题，一般都可以通过求a1和d求解，但要注意公式的变形和整体代换的运用，以减少运算量． 2．等差数列通项公式的推论：an＝am＋(n－m)d，m，n∈N*． [跟进训练] 1．在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是(　　) A．第13项　　 B．第14项 C．第15项　　 D．第16项 C　[设数列{an}的公差为d， 由已知得：a1＝40，d＝37－40＝－3， 所以an＝40＋(n－1)×(－3)＝43－3n， 由an<0，得43－3n<0，解得n>， 所以第一个负数项是第15项．] 类型2　等差数列的判定 【例2】　如果数列{an}是等差数列，数列{bn}中，bn＝3an＋2，求证：{bn}是等差数列． [思路点拨]　要证{bn}是等差数列，即要证bn＋1－bn为常数(n∈N＋)． [证明]　{an}为等差数列，设公差为d，则an＋1－an＝d(n∈N＋)， 由bn＝3an＋2，得bn＋1＝3an＋1＋2， ∴bn＋1－bn＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)是常数． ∴数列{bn}是等差数列． 1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数)． 2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可． [跟进训练] 2．已知数列{xn}满足xn＝(n≥2，且n∈N＋)． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x100． [解]　(1)证明：当n≥2时，＝＝＋， ∴－＝， ∴是等差数列，公差为． (2)由(1)知，＝2＋(n－1)， ∴＝2＋(100－