基本不等式讲义-2024届高三数学一轮复习

第二章 第02讲 基本不等式 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知，是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 1．已知正数满足 ，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接使用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数满足 ， 所以有，当且仅当时取等号， 故选：B 2．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】因为，， 所以 （当且仅当，即时取等号）， 即的最小值为4. 故选：D. 3．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．8 C．12 D．20 【答案】A 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 4．已知，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决. 【详解】时，（当且仅当时等号成立） 则，即的最大值为0. 故选：C 5．用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形的长为m，表示出宽，写出面积的表达式，再利用基本不等式求积的最值即可. 【详解】设矩形的长为m，由题意，宽为，所以该菜园的面积为，则由基本不等式得，当且仅当时取等号，所以该菜园面积的最大值为. 故选：A 高频考点一：利用基本不等式求最值 角度一：凑配法 例题（2022·浙江·高三专题练习） 6．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】解：， ， 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故选：． 例题 7．函数取最小值时的值为（    ） A．6 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】变形为，再根据基本不等式可得结果. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当且，即时等号成立. 故选：B 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，取等号的条件，属于基础题. 例题 8．函数，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：D. 题型归类练 9．已知，则的最小值是(    ) A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解． 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是5． 故选：A． 10．函数的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据基本的不等式，构造定值，即可求解. 【详解】解：（当且仅当时，即时取“=”），所以最小值为1， 故选：C. 11．已知，则函数的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由题意得，则，然后利用基本不等式可求得结果 【详解】由于，则， 故 当且仅当，即时取到等号， 因此的最小值为6． 故选：B 角度二：“1”的代入法 例题 12．已知，，，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 例题 13．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．16 D．20 【答案】C 【分析】运用的“的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】由已知条件得 ， 当且仅当，时，即，时等号成立. 故选：. 例题 14．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解. 【详解】∵，即， ∴ 又∵，，∴，当且仅当且， 即，时，等号成立，则的最小值为4. 故答案为：. 题型归类练 （2022·山东日照·二模） 15．已知第一象限的点在直线上，则的最小值是 . 【答案