（练习）章末综合测评(二)平面向量及其应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

章末综合测评(二)平面向量及其应用 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题正确的是(　　) A．若∀λ∈R，a≠λb，则a，b不共线 B．若|a|＝|b|，则a＝±b C．若a和b都是单位向量，则a∥b D．若m＝3a＋2b，n＝a＋b，则m∥n D　[由m＝2n，得m∥n.] 2．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影数量为(　　) A． B．－ C．4 D．－4 D　[a在e方向上的投影为|a|cos ＝8×＝－4.] 3．若向量＝(1，2)，＝(－4，2)，则||＝(　　) A．2 B． 5 C． 20 D． 25 B　[因为＝＋＝(－3，4)，所以||＝＝5.] 4．已知向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a⊥(a－b)，则|b－2a|＝(　　) A． 2 B．2 C．4 D．4 A　[|b－2a|＝|2a－b|＝|(a－b)＋a|＝＝＝2.] 5．若向量＝(3，4)，d＝(－1，1)，且d·＝5，那么d·＝(　　) A．0 B．－4 C．4 D．4或－4 C　[d·＝d·(－)＝d·－d·＝5－1＝4.] 6．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋ 2＝0，则等于(　　) A． B． C．1 D．2 D　[由已知，得(－)＋2(－)＝0， 即＋2＝0. ∴＝－2， ∴＝2.] 7．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A．346　　　 B．373 C．446　　　 D．473 B　[如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝. 在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝. 又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.] 8．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6) A　[·＝||·||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A.] 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知向量a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，则下列结论正确的是(　　) A．＝5 B．＝13 C．a在b方向上的投影数量为－ D．a在b方向上的投影数量为－ ABD　[由已知得a＝(－3，4)，b＝(5，－12)， 所以＝5，＝13，a·b＝－63. 所以a在b方向上的投影为＝－.] 10．黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝.根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件(　　) A．A＝30°，B＝45° B．c＝1，cos C＝ C．B＝60°，c＝3 D．C＝75°，A＝45° ABC　[∵≠，∴A错； ∵cos C＝＝≠，∴B错； ∵＝＝≠cos 60°，∴C错； 对于D，由正弦定理得，b＝＝＝，故D正确．] 11．已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|＝1，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．b在a方向上的投影数量为 C．|a＋b|＝ D．a与b的夹角等于 ABCD　[因为|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.① 又|a＋b|2＝|a|2