（练习）微专题强化练(一)平面向量数量积的综合应用(教参独具)-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

微专题强化练(一)平面向量数量积的综合应用(教参独具) 一、选择题 1．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　) A．16 B．256 C．8 D．64 A　[法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16. 法二：由题意知2a＝b， ∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.] 2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 B　[因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， 所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.] 3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° B　[由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b＝－|a|2⇒2|a|·|b|·cos θ＝－|a|2⇒cos θ＝－⇒θ＝120°.] 4．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．e1在e2方向上的投影数量为cos θ B．e＝e C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 ABC　[因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ， 则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影数量为|e1|cos θ ＝cos θ，故A正确； e＝e＝1，故B正确； (e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0， 故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确； e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误．] 5．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 A　[∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，① |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，② 由①－②得4a·b＝4， ∴a·b＝1.] 二、填空题 6．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________． －　[c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.] 7．(2021·北京高考)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________． 0　3　[以a，b交点为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示．∵a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)， ∴(a＋b)·c＝(4，0)·(0，1)＝4×0＋0×1＝0， a·b＝2×2＋1×(－1)＝3. ] 8．如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos ∠BAC＝，＝2，则·＝________． －　[根据条件： ＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋； 所以·＝(＋)·(－) ＝·－2＋2 ＝×3×3×－×9＋×9＝－.] 三、解答题 9．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|. [解]　a·b＝|a||b|cos ＝5×5×＝. |a＋b|＝＝ ＝＝5. |a－b|＝＝ ＝＝5. 10．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． [解]　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°， ∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝. |a|＝|2m＋n|＝＝＝＝， |b|＝|2n－3m|＝ ＝ ＝＝， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m) ＝m·n－6m2＋2n2 ＝－6×1＋2×1＝－. 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. 又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝，故a与b的夹角为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$