第24章 圆（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪科版）

第24章 圆（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 【知识点一】旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； (3)对应线段相等、对应角相等. 【例1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 【知识点二】点和圆的位置关系： 点在圆外，； 点在圆上，； 点在圆内，； 【例2】（2023·河南三门峡·九年级统考期中）在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ． 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【例3】（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，是的直径，点C、D是弧的三等分点，，则的度数是 ． 【知识点四】垂径定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 【例4】（2023·福建南平·九年级校考期中）如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是 ．    【知识点五】圆周角定理： 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 【例5】（2024·四川凉山·九年级宁南中学校考阶段练习）如图，线段是弦，且，则弦所对的圆周角为 度． 【知识点六】直线和圆的位置关系： 直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 【例6】（2023·河北张家口·九年级统考期中）已知的直径为10，直线l与相交，则圆心O到直线l的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式】（2023·福建福州·九年级校考期中）已知的半径为10，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【知识点七】切线定理： 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法： （1）直线与交点个数； （2）直线到圆心的距离与半径关系； （3）切线的判定定理. 【例7】（2023·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【知识点八】切线长定理： 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线是这两条切线的夹角. 【例8】（2023·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考期中）如图，，分别与相切于，，切于，已知，的半径为，则的周长是 ． 【知识点九】确定圆的条件： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【例9】（2023·重庆·九年级重庆一中校考期中）已知，，，于点，． (1)如图1，若，取的中点F，连接，，求的长度； (2)如图2，连接，点在线段上，且，连接、，若，为中点，证明：； (3)如图3，在（2）的条件下，将绕点逆时针旋转得，连接，点是中点，连接，若，在旋转过程中，当最大时，直线与直线交于点，请直接写出的面积． 【知识点十】外心： 外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 【例10】（2022下·安徽宣城·九年级统考自主招生）如图，锐角的外心为，直线交边于点，为的中点，在上的射影点为，为上的点，且，交于点，求证：    (1)； (2)． 【知识点十一】内心： 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. 三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. 直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 【例11】（2023·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的选项是 ． 【知识点十二】相交弦定理： 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两