专题5.2 利用导数研究函数的单调性-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.2 利用导数研究函数的单调性 知识点一 导数与函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 知识点二 利用导数研究函数的单调性的方法步骤 利用导数研究函数的单调性的方法步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. 特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 知识点三二 常用结论 1．在某区间内f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 考点01 判断或证明函数的单调性 【典例01】（2022·高二课时练习）已知函数．讨论的单调性． 【典例02】（2022下·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【总结提升】 1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域. 2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 3.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 考点02 求函数的单调区间 【典例03】（2022上·广东珠海·高三校考期末）函数的递减区间为（    ） A． B． C． D． 【典例04】（2022下·北京·高二汇文中学校考期末）函数在上的单调递增区间是 . 【总结提升】 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开． 考点03 利用函数的单调性解不等式 【典例05】（2022下·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例06】（2022下·福建漳州·高二校考期中）定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 1.比较大小或解不等式的思路方法 (1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数． (2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系． 2.构造函数解不等式或比较大小 一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f ′(x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果． 常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x)＞g(x)→F(x)＝f (x)－g(x)； (2)xf ′(x)＋f (x)→[xf (x)]′； (3)xf ′(x)－f (x)→； (4)f ′(x)＋f (x)→[exf (x)]′； (5)f ′(x)－f (x)→. 考点04 利用函数的单调性比较大小 【典例07】（2022上·山东菏泽·高三统考期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例08】（2022上·云南保山·高三统考阶段练习）已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． 考点05 根据函数的单调性求参数范围 【典例09】（2022上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例10】（2022下·陕西榆林·高二校考期中）若函数在内存在单调递增区间，则