专题5.3 利用导数研究函数的极（最）值-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.3 利用导数研究函数的极（最）值 知识点一 导数与函数的极值 1．函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.特别提醒： (1)函数f (x)在处有极值的必要不充分条件是f ′()＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点)． (2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点． 知识点二 导数与函数的最值 1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识点三二 常用结论 1．若函数f (x)的图象连续不断，则f (x)在[a，b]上一定有最值． 2．若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 考点01 利用导数求函数的极值 【典例01】（2022上·上海普陀·高一校考期末）已知函数 (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 【典例02】（2023下·高二课时练习）求下列函数的极值. (1)； (2). 【总结提升】 1.两点说明： （1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； （2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 2.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值． 3.求极值问题主要有两种类型，一是由图象求极值，二是求具体函数的极值. 考点02 根据函数极值（点）求参数的值或范围 【典例03】（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）已知函数在处有极值0，则实数的值为（    ） A．4 B．4或11 C．9 D．11 【典例04】【多选题】（湖北省十堰市2021-2022学年高二下学期期末）已知函数，若，为的两个不同的极值点，则实数a的取值可能是（       ）． A． B． C．3 D．4 【总结提升】 由函数极值求参数的值或范围． 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 考点03 函数的图象信息问题 【典例05】（2021下·江苏徐州·高二校考期中）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（    ） A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【典例06】（2022下·贵州遵义·高二统考期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ）    A．函数在和上单调递增 B．函数在和上单调递减 C．函数仅有两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【总结提升】 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变