第03讲 平面向量基本定理及坐标表示-【寒假预科讲义】2024年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 【人教A版2019】 ·模块一 平面向量基本定理 ·模块二 平面向量的坐标表示 ·模块三 课后作业 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【考点1 用基底表示向量】 【例1.1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）如图，在中，是的中点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·山西朔州·高三校考开学考试）如图，在中，设，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）如图为正六边形ABCDEF，其中点O为正六边形ABCDEF的中心，设，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【考点2 利用平面向量基本定理求参数】 【例2.1】（2023上·山东·高三校联考开学考试）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【例2.2】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2.2】（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【考点3 平面向量基本定理的应用】 【例3.1】（2023·四川成都·校联考一模）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2022·高一课时练习）已知、为不共线的向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式3.1】（2023下·浙江·高一校联考阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，则，则的最小值（    ）    A．1 B．3 C．5 D．8 【变式3.2】（2023下·江苏南京·高一校联考阶段练习）在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题： 甲：                    乙： 丙：                    丁： 如果只有一个是假命题，则该命题为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 模块二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向