第06讲 平行线的性质与判定中常用的辅助线-2023-2024学年七年级数学下册寒假自学课（人教版）

第06讲 平行线的性质与判定中常用的辅助线 【人教版】 ·模块一 过“拐点”作平行线 ·模块二 连接两点或延长使相交 ·模块三 课后作业 模块一 过“拐点”作平行线 【例1.1】（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，直线，在上任选一点E，将一直角三角板直角顶点放在E处，，当，此时的大小是（    ）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ．    【例1.3】（2023下·山东德州·七年级统考期末）已知，平分，，，则 ． 【变式1.1】（2023下·江苏徐州·七年级校考阶段练习）如图，若为直角三角形，，直角顶点C在直尺的一边上，则的度数为 °． 【变式1.2】（2023上·陕西延安·七年级校考期中）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接，．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，且，求的度数．（提示：可分别过点G、点P作平行于的直线） 【变式1.3】（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）已知，直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图，点在直线、之间，当，时，求． (2)如图，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由． 模块二 连接两点或延长使相交 【例2.1】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，，，，则______． 【例2.2】（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）请将下列题目的证明过程补充完整： 如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接． ，， ． _________________________． ______________________． 又， ______， 即______． _________________________． 【例2.3】（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，已知，、分别平分、． 　　； 如图，将改为折线，、分别平分、，其余条件不变，若，求的度数：并进一步猜想与之间的数量关系． 【变式2.1】（2023下·辽宁鞍山·七年级校考期中）（2023下·山西忻州·七年级统考期末）如图1，，点E为直线AB，CD外一点． (1)若，，求出∠E的度数． (2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若，EF平分，，求的度数： (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作交CD于点I．当FH平分时，请直接写出的度数． 【变式2.2】（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）已知：如图，，求证：． 【变式2.3】（2023下·广东韶关·七年级校考期中）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（    ）    A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 模块三 课后作业 1．（2023下·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（    ）    A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 3．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    4．（2023下·福建厦门·七年级厦门市第十一中学校考期中）如图，所示已知，，点在射线上，且，则的度数为 ． 5．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考阶段练习）如图，已知直线，将等边三角形按如图所示放置，若，则的度数是 ． 6．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ ． 7．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，延长BA至点E，连接CE，CE交AD于点F，若和的角平分线相交于点P． （1）求证：AB//CD； （2）若，，求的度数； 8．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）综合与实践 数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线和之间． 探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，求的度数；