专题13 解直角三角形之实际应用模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题13 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【重要模型】 模型1、背靠背模型 图1 图2 图3 【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键. 【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB； 如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。 例1．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考期中）如图，在建筑物上，挂着米长的宣传条幅，从另一建筑物的顶端处看条幅顶端，仰角为，看条幅底端处，俯角为．求两建筑物间的距离（参考数值：，）    例2、（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为 米．（结果精确到米）（参考数据：，，）    例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    例4．（2023•睢阳区中考模拟）数学兴趣小组准备测量学校外的一座古塔AB的高度，小明在地面C处观测到塔尖A的仰角为58°，塔的另一侧有一斜坡DE（D，B，C在同一直线上），坡度i＝1：，小亮在E处测得塔尖A的仰角为45°，已知斜坡DE＝15米，CD＝20米，求古塔AB的高度．（精确到0.1米．参考数据：sin58°≈0.8480，cos58°≈0.5299，tan58°≈1.600） 模型2、母子模型 图1 图2 图3 图4 【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 【重要等量关系】 如图1，BC为公共边，AD+DC=AC； 如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC； 如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC； 如图6，EC- BC= BE； 如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（2023年江苏省徐州市中考数学真题）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：）      例2．（2023年四川省广安市中考数学真题）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．(1)求步道的长度．(2)点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：）    例3．（2022·四川遂宁·中考真题）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：，，，） 例4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题