专题16 椭圆的中点弦问题（期末选择题16）2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题16 椭圆的中点弦问题（期末选择题16） （原卷版） 题型 椭圆的中点弦问题 技巧：常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.同时设点设线联立化解韦达判别也可充分的破解中点问题 工具：是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 形如1：已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 破解：根据题意设，代入椭圆方程可得； 两式相减可得，整理可得； 又因为的中点坐标为，可得； 因此过两点的直线斜率为， 又和的中点在直线上，所以， 即，可得； 又易知，且，计算可得； 所以椭圆的方程为，代入的中点坐标为，得，则其在椭圆内部，则此时直线与椭圆相交两点. 故选：A 形如2：已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 破解：设，，则，，两式作差并化简整理得 ，因为线段AB的中点为，所以，， 所以，由，得，又因为，解得，，所以椭圆C的方程为． 故选：A． 形如3：已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A． B． B． C． D． 破解：椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， ∴， ∴，代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部， ∴，解得 ， 即的取值范围是．故选：A． 形如4：已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 破解：设，的中点为， 因为都在椭圆上， 所以，作差可得， 即，所以， 即，因为，所以， 又因为为△BMN的重心，所以， 所以，则， 所以，整理得，即， 所以，则，所以离心率.故选: A. 1．椭圆与直线交于，两点，点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点的直线与椭圆交于A、B两点，且满足.若M为直线上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知椭圆M：，点在其上，直线l交椭圆于A，B两点，的重心是坐标原点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（    ） ①直线与垂直 ②若点的坐标为，则直线方程为 ③若直线方程为，则点的坐标为 ④若直线方程为，则 A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知椭圆（）的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．已知O为坐标原点，椭圆C：的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且，点D为线段AB的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 11．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 13．已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知、为椭圆上两点，为坐标原点，（异于点）为弦中点，若两点连线斜率为，则两点连线斜率为（    ） A． B． C． D． 15．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 16．A，B是椭圆上两点，线段AB的中点在直线上，则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 17．已知椭圆的右焦点为，过点且