复习专题05 抛物线8种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题05 抛物线8种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、求抛物线的标准方程 考点二、抛物线定义的应用 (一)利用抛物线的定义求距离或点的坐标 (二)与抛物线定义有关的最大(小)值问题 考点三、抛物线的轨迹问题 考点四、直线与抛物线的位置关系 考点五、直线与抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题 (一)弦长问题 (二)焦点弦问题 (三)中点弦问题 考点六、抛物线中的参数范围及最值问题 考点七、抛物线的定值、定点、定直线问题 (一)定值问题 (二)定点问题 (三)定直线问题 考点八、抛物线的实际应用 知识点1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． ②定义的实质可归纳为“一动三定” 一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 知识点2　抛物线的方程及简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识点3 直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． (3)求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 知识点4 焦点弦问题 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． 1、求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　 2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 3、抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　　 4、直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解. 5、求抛物线实际应用的五个步骤 6、求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程． (2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程． 考点剖析 考点一、求抛物线的标准方程 1.若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 2.若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 . 3.以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4.以椭圆的