（练习）课时分层作业50 平面与平面垂直的判定-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(五十)平面与平面垂直的判定 一、选择题 1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ且l⊥m 　　　　　 B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ A　[B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．] 2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β D　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.] 3．下列命题中正确的是(　　) A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β C　[当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确．] 4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A­BCD，则在几何体A­BCD中，下列结论正确的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC D　[由已知得BA⊥AD，CD⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD， 从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC. 又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.] 5．下列不能确定两个平面垂直的是(　　) A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 C．一个平面经过另一个平面的一条垂线 D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b D　[如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．] 二、填空题 6．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论： ①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α； ②若m∥α，则m平行于α内的所有直线； ③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n； ④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β. 其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上). ①④　[①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确．] 7．在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上). ①③④　[因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故①正确；因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因为AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.因为BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；只有②不正确．故正确的命题为①③④.] 8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α和β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________． ①③④⇒②(或②③④⇒①) [m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面， ∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直， 从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°， ∴α⊥β. 或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m⊂β，当n⊥β时，有m⊥n. 故答案为①③④⇒②(或②③④⇒①).] 三、解答题 9．如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点． 求证：平面EBD⊥平面ABCD． [证明]　连接AC与BD交于O点，连接OE. ∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC. ∵SC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD． 又∵EO⊂平面EBD， ∴平面EBD⊥平面ABCD． 10．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD． [证明]　∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG.同理可证AC⊥DG. 又∵BG∩DG＝G， ∴AC⊥平面BGD． ∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD． 又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD． 11．如图所示，在四面体D-ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE C　[因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE. 因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE. 因为AC⊂平面ACD， 所以平面ACD⊥平面BDE.] 12．(多选题)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．在翻折的过程中，可能成立的结论是(　　) A．DF⊥BC B．BD⊥FC C．平面DBF⊥平面BFC D．平面DCF⊥平面BFC BC　[对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故A不可能成立；对于B，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故B可能成立；对于C，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故C可能成立；对于D，因为点D的射影不可能在FC上，故D不可能成立．故选BC.] 13．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是________个． 4　[∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC. ∴△ABC为直角三角形． 又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∵PC⊂平面PAC， ∴BC⊥PC， ∴△PBC是直角三角形，从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．] 14．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可) DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由题意得BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD． 又PA∩AC＝A， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．] 15．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)求证：AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C； (3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由． [解]　(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC， ∴AD⊥平面BB1C1C. 又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1. (2)证明：如图，延长B1A1与BM交于点N，连接C1N. ∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1. ∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1， 又面NB1C1⊥侧面BB1C1C，平面NB1C1∩平面BB1C1C＝B1C1， ∴C1N⊥侧面BB1C1C. ∴平面C1BN⊥侧面BB1C1C. ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C； (3)AM＝MA1.证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE， ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C， ∴ME⊥侧面BB1C1C. 又AD⊥侧面BB1C1C， ∴ME∥AD， ∴M，E，D，A四点共面． ∵MA∥侧面BB1C1C， ∴AM∥DE. ∴四边形AMED是平行四边形， 又AM∥CC1，∴DE∥CC1. ∵BD＝CD， ∴DE＝CC1， ∴AM＝CC1＝AA1. ∴AM＝MA1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$